Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2440 / 1208
↖ ↑ ↗
← N 77.542096°
W 72.773437°		 ← 1 054.13 m → N 77.542096°
W 72.729492°		 →
↑
1 054.53 m
↓
↑
1 054.53 m
↓
N 77.532612°
W 72.773437°		 ← 1 054.92 m →
1 112 021 m²		 N 77.532612°
W 72.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.29791259765625 y=0.14752197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.29791259765625 × 213)
    floor (0.29791259765625 × 8192)
    floor (2440.5)     		tx = 2440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14752197265625 × 213)
    floor (0.14752197265625 × 8192)
    floor (1208.5)     		ty = 1208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2440 / 1208 ti = "13/2440/1208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2440/1208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2440 ÷ 213
    2440 ÷ 8192     		x = 0.2978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1208 ÷ 213
    1208 ÷ 8192     		y = 0.1474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2978515625 × 2 - 1) × π
    -0.404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.27013609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    0.705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21506825764355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.27013609} λ = -1.27013609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21506825764355))-π/2
    2×atan(9.16203446914887)-π/2
    2×1.46208060509691-π/2
    2.92416121019382-1.57079632675     		φ = 1.35336488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.27013609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -72.773437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35336488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.542096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2440 KachelY 1208 -1.27013609 1.35336488 -72.773437 77.542096
    Oben rechts KachelX + 1 2441 KachelY 1208 -1.26936910 1.35336488 -72.729492 77.542096
    Unten links KachelX 2440 KachelY + 1 1209 -1.27013609 1.35319936 -72.773437 77.532612
    Unten rechts KachelX + 1 2441 KachelY + 1 1209 -1.26936910 1.35319936 -72.729492 77.532612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35336488-1.35319936) × R
    0.000165519999999919 × 6371000     		dl = 1054.52791999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35336488-1.35319936) × R
    0.000165519999999919 × 6371000     		dr = 1054.52791999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.27013609--1.26936910) × cos(1.35336488) × R
    0.000766990000000023 × 0.215722261434972 × 6371000     		do = 1054.12538300565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.27013609--1.26936910) × cos(1.35319936) × R
    0.000766990000000023 × 0.215883881271695 × 6371000     		du = 1054.91513725333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35336488)-sin(1.35319936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215722261434972-0.215883881271695)×R²
    abs(-1.26936910--1.27013609)×0.000161619836723415×R²
    0.000766990000000023×0.000161619836723415×6371000²
    0.000766990000000023×0.000161619836723415×40589641000000     		ar = 1112021.05905035m²