Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 244 / 131
↖ ↑ ↗
← N 65.658274°
W  8.437500°		 ← 32.226 km → N 65.658274°
W  7.734375°		 →
↑
32.406 km
↓
↑
32.406 km
↓
N 65.366837°
W  8.437500°		 ← 32.588 km →
1 050.18 km²		 N 65.366837°
W  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4775390625 y=0.2568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4775390625 × 29)
    floor (0.4775390625 × 512)
    floor (244.5)     		tx = 244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2568359375 × 29)
    floor (0.2568359375 × 512)
    floor (131.5)     		ty = 131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 244 / 131 ti = "9/244/131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/244/131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 244 ÷ 29
    244 ÷ 512     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 131 ÷ 29
    131 ÷ 512     		y = 0.255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255859375 × 2 - 1) × π
    0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5339807878418))-π/2
    2×atan(4.63659744441408)-π/2
    2×1.35837469916305-π/2
    2.7167493983261-1.57079632675     		φ = 1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 244 KachelY 131 -0.14726216 1.14595307 -8.437500 65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 245 KachelY 131 -0.13499031 1.14595307 -7.734375 65.658274
    Unten links KachelX 244 KachelY + 1 132 -0.14726216 1.14086653 -8.437500 65.366837
    Unten rechts KachelX + 1 245 KachelY + 1 132 -0.13499031 1.14086653 -7.734375 65.366837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14595307-1.14086653) × R
    0.00508653999999997 × 6371000     		dl = 32406.3463399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14595307-1.14086653) × R
    0.00508653999999997 × 6371000     		dr = 32406.3463399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.13499031) × cos(1.14595307) × R
    0.01227185 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 32225.7050050437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.13499031) × cos(1.14086653) × R
    0.01227185 × 0.416806989093035 × 6371000     		du = 32587.6194416248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14595307)-sin(1.14086653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.416806989093035)×R²
    abs(-0.13499031--0.14726216)×0.00462901154503964×R²
    0.01227185×0.00462901154503964×6371000²
    0.01227185×0.00462901154503964×40589641000000     		ar = 1050183784.00781m²