Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24399 / 40782
↖ ↑ ↗
← S 40.237606°
W 45.972290°		 ← 466.31 m → S 40.237606°
W 45.966797°		 →
↑
466.23 m
↓
↑
466.23 m
↓
S 40.241798°
W 45.972290°		 ← 466.28 m →
217 400 m²		 S 40.241798°
W 45.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372306823730469 y=0.622291564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372306823730469 × 216)
    floor (0.372306823730469 × 65536)
    floor (24399.5)     		tx = 24399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622291564941406 × 216)
    floor (0.622291564941406 × 65536)
    floor (40782.5)     		ty = 40782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24399 / 40782 ti = "16/24399/40782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24399/40782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24399 ÷ 216
    24399 ÷ 65536     		x = 0.372299194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40782 ÷ 216
    40782 ÷ 65536     		y = 0.622283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372299194335938 × 2 - 1) × π
    -0.255401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80236783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.24456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.76833262711026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80236783} λ = -0.80236783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.76833262711026))-π/2
    2×atan(0.463785727725598)-π/2
    2×0.434258815029805-π/2
    0.868517630059611-1.57079632675     		φ = -0.70227870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80236783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.972290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70227870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.237606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24399 KachelY 40782 -0.80236783 -0.70227870 -45.972290 -40.237606
    Oben rechts KachelX + 1 24400 KachelY 40782 -0.80227195 -0.70227870 -45.966797 -40.237606
    Unten links KachelX 24399 KachelY + 1 40783 -0.80236783 -0.70235188 -45.972290 -40.241798
    Unten rechts KachelX + 1 24400 KachelY + 1 40783 -0.80227195 -0.70235188 -45.966797 -40.241798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70227870--0.70235188) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dl = 466.229780000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70227870--0.70235188) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dr = 466.229780000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80236783--0.80227195) × cos(-0.70227870) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.763372224000378 × 6371000     		do = 466.307052821757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80236783--0.80227195) × cos(-0.70235188) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.763324950687065 × 6371000     		du = 466.278175848355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70227870)-sin(-0.70235188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763372224000378-0.763324950687065)×R²
    abs(-0.80227195--0.80236783)×4.72733133136671e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.72733133136671e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.72733133136671e-05×40589641000000     		ar = 217399.503093819m²