Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24397 / 40644
↖ ↑ ↗
← S 39.656456°
W 45.983276°		 ← 470.24 m → S 39.656456°
W 45.977783°		 →
↑
470.24 m
↓
↑
470.24 m
↓
S 39.660685°
W 45.983276°		 ← 470.21 m →
221 119 m²		 S 39.660685°
W 45.977783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372276306152344 y=0.620185852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372276306152344 × 216)
    floor (0.372276306152344 × 65536)
    floor (24397.5)     		tx = 24397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620185852050781 × 216)
    floor (0.620185852050781 × 65536)
    floor (40644.5)     		ty = 40644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24397 / 40644 ti = "16/24397/40644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24397/40644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24397 ÷ 216
    24397 ÷ 65536     		x = 0.372268676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40644 ÷ 216
    40644 ÷ 65536     		y = 0.62017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372268676757812 × 2 - 1) × π
    -0.255462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80255957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.2403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.755102042815124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80255957} λ = -0.80255957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755102042815124))-π/2
    2×atan(0.469962655971237)-π/2
    2×0.439330299549628-π/2
    0.878660599099255-1.57079632675     		φ = -0.69213573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80255957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.983276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69213573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.656456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24397 KachelY 40644 -0.80255957 -0.69213573 -45.983276 -39.656456
    Oben rechts KachelX + 1 24398 KachelY 40644 -0.80246370 -0.69213573 -45.977783 -39.656456
    Unten links KachelX 24397 KachelY + 1 40645 -0.80255957 -0.69220954 -45.983276 -39.660685
    Unten rechts KachelX + 1 24398 KachelY + 1 40645 -0.80246370 -0.69220954 -45.977783 -39.660685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69213573--0.69220954) × R
    7.3810000000063e-05 × 6371000     		dl = 470.243510000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69213573--0.69220954) × R
    7.3810000000063e-05 × 6371000     		dr = 470.243510000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80255957--0.80246370) × cos(-0.69213573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769884785516426 × 6371000     		do = 470.236211302496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80255957--0.80246370) × cos(-0.69220954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769837679139302 × 6371000     		du = 470.20743930346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69213573)-sin(-0.69220954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769884785516426-0.769837679139302)×R²
    abs(-0.80246370--0.80255957)×4.71063771239066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71063771239066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71063771239066e-05×40589641000000     		ar = 221118.76170961m²