Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24396 / 40691
↖ ↑ ↗
← S 39.854938°
W 45.988770°		 ← 468.93 m → S 39.854938°
W 45.983276°		 →
↑
468.91 m
↓
↑
468.91 m
↓
S 39.859155°
W 45.988770°		 ← 468.90 m →
219 878 m²		 S 39.859155°
W 45.983276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372261047363281 y=0.620903015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372261047363281 × 216)
    floor (0.372261047363281 × 65536)
    floor (24396.5)     		tx = 24396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620903015136719 × 216)
    floor (0.620903015136719 × 65536)
    floor (40691.5)     		ty = 40691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24396 / 40691 ti = "16/24396/40691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24396/40691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24396 ÷ 216
    24396 ÷ 65536     		x = 0.37225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40691 ÷ 216
    40691 ÷ 65536     		y = 0.620895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80265545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620895385742188 × 2 - 1) × π
    -0.241790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.75960811137941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80265545} λ = -0.80265545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75960811137941))-π/2
    2×atan(0.467849736076909)-π/2
    2×0.437598217866763-π/2
    0.875196435733527-1.57079632675     		φ = -0.69559989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80265545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.988770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69559989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.854938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24396 KachelY 40691 -0.80265545 -0.69559989 -45.988770 -39.854938
    Oben rechts KachelX + 1 24397 KachelY 40691 -0.80255957 -0.69559989 -45.983276 -39.854938
    Unten links KachelX 24396 KachelY + 1 40692 -0.80265545 -0.69567349 -45.988770 -39.859155
    Unten rechts KachelX + 1 24397 KachelY + 1 40692 -0.80255957 -0.69567349 -45.983276 -39.859155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69559989--0.69567349) × R
    7.3600000000007e-05 × 6371000     		dl = 468.905600000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69559989--0.69567349) × R
    7.3600000000007e-05 × 6371000     		dr = 468.905600000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80265545--0.80255957) × cos(-0.69559989) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767669402794814 × 6371000     		do = 468.931990848164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80265545--0.80255957) × cos(-0.69567349) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767622234444739 × 6371000     		du = 468.903177991712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69559989)-sin(-0.69567349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767669402794814-0.767622234444739)×R²
    abs(-0.80255957--0.80265545)×4.71683500746778e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71683500746778e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71683500746778e-05×40589641000000     		ar = 219878.081372032m²