Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24393 / 25304
↖ ↑ ↗
← S 69.503765°
E 87.989502°		 ← 427.73 m → S 69.503765°
E 88.000488°		 →
↑
427.69 m
↓
↑
427.69 m
↓
S 69.507612°
E 87.989502°		 ← 427.65 m →
182 917 m²		 S 69.507612°
E 88.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744430541992188 y=0.772232055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744430541992188 × 215)
    floor (0.744430541992188 × 32768)
    floor (24393.5)     		tx = 24393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772232055664062 × 215)
    floor (0.772232055664062 × 32768)
    floor (25304.5)     		ty = 25304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24393 / 25304 ti = "15/24393/25304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24393/25304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24393 ÷ 215
    24393 ÷ 32768     		x = 0.744415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25304 ÷ 215
    25304 ÷ 32768     		y = 0.772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.744415283203125 × 2 - 1) × π
    0.48883056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.53570652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53570652} λ = 1.53570652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7103885784436))-π/2
    2×atan(0.18079552572191)-π/2
    2×0.178863390807555-π/2
    0.35772678161511-1.57079632675     		φ = -1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53570652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.989502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24393 KachelY 25304 1.53570652 -1.21306955 87.989502 -69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 24394 KachelY 25304 1.53589826 -1.21306955 88.000488 -69.503765
    Unten links KachelX 24393 KachelY + 1 25305 1.53570652 -1.21313668 87.989502 -69.507612
    Unten rechts KachelX + 1 24394 KachelY + 1 25305 1.53589826 -1.21313668 88.000488 -69.507612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21306955--1.21313668) × R
    6.71300000001374e-05 × 6371000     		dl = 427.685230000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21306955--1.21313668) × R
    6.71300000001374e-05 × 6371000     		dr = 427.685230000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53570652-1.53589826) × cos(-1.21306955) × R
    0.000191739999999996 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 427.729572241178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53570652-1.53589826) × cos(-1.21313668) × R
    0.000191739999999996 × 0.350082941396514 × 6371000     		du = 427.652758181226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21306955)-sin(-1.21313668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.350082941396514)×R²
    abs(1.53589826-1.53570652)×6.28811378723393e-05×R²
    0.000191739999999996×6.28811378723393e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.28811378723393e-05×40589641000000     		ar = 182917.194431417m²