Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24389 / 40656
↖ ↑ ↗
← S 39.707186°
W 46.027221°		 ← 469.89 m → S 39.707186°
W 46.021729°		 →
↑
469.92 m
↓
↑
469.92 m
↓
S 39.711413°
W 46.027221°		 ← 469.86 m →
220 807 m²		 S 39.711413°
W 46.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372154235839844 y=0.620368957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372154235839844 × 216)
    floor (0.372154235839844 × 65536)
    floor (24389.5)     		tx = 24389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620368957519531 × 216)
    floor (0.620368957519531 × 65536)
    floor (40656.5)     		ty = 40656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24389 / 40656 ti = "16/24389/40656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24389/40656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24389 ÷ 216
    24389 ÷ 65536     		x = 0.372146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40656 ÷ 216
    40656 ÷ 65536     		y = 0.620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.255706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80332656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80332656} λ = -0.80332656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756252528406006))-π/2
    2×atan(0.469422281613351)-π/2
    2×0.438887591472971-π/2
    0.877775182945943-1.57079632675     		φ = -0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80332656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.027221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24389 KachelY 40656 -0.80332656 -0.69302114 -46.027221 -39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 24390 KachelY 40656 -0.80323069 -0.69302114 -46.021729 -39.707186
    Unten links KachelX 24389 KachelY + 1 40657 -0.80332656 -0.69309490 -46.027221 -39.711413
    Unten rechts KachelX + 1 24390 KachelY + 1 40657 -0.80323069 -0.69309490 -46.021729 -39.711413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69302114--0.69309490) × R
    7.37599999999228e-05 × 6371000     		dl = 469.924959999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69302114--0.69309490) × R
    7.37599999999228e-05 × 6371000     		dr = 469.924959999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80332656--0.80323069) × cos(-0.69302114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 469.890899244891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80332656--0.80323069) × cos(-0.69309490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769272305566002 × 6371000     		du = 469.862116039407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69302114)-sin(-0.69309490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.769272305566002)×R²
    abs(-0.80323069--0.80332656)×4.71247246562889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71247246562889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71247246562889e-05×40589641000000     		ar = 220806.69915835m²