Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24389 / 40629
↖ ↑ ↗
← S 39.592990°
W 46.027221°		 ← 470.67 m → S 39.592990°
W 46.021729°		 →
↑
470.69 m
↓
↑
470.69 m
↓
S 39.597223°
W 46.027221°		 ← 470.64 m →
221 532 m²		 S 39.597223°
W 46.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372154235839844 y=0.619956970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372154235839844 × 216)
    floor (0.372154235839844 × 65536)
    floor (24389.5)     		tx = 24389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619956970214844 × 216)
    floor (0.619956970214844 × 65536)
    floor (40629.5)     		ty = 40629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24389 / 40629 ti = "16/24389/40629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24389/40629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24389 ÷ 216
    24389 ÷ 65536     		x = 0.372146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40629 ÷ 216
    40629 ÷ 65536     		y = 0.619949340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.255706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80332656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619949340820312 × 2 - 1) × π
    -0.239898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.753663935826523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80332656} λ = -0.80332656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753663935826523))-π/2
    2×atan(0.470638998761253)-π/2
    2×0.439884141895274-π/2
    0.879768283790548-1.57079632675     		φ = -0.69102804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80332656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.027221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69102804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.592990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24389 KachelY 40629 -0.80332656 -0.69102804 -46.027221 -39.592990
    Oben rechts KachelX + 1 24390 KachelY 40629 -0.80323069 -0.69102804 -46.021729 -39.592990
    Unten links KachelX 24389 KachelY + 1 40630 -0.80332656 -0.69110192 -46.027221 -39.597223
    Unten rechts KachelX + 1 24390 KachelY + 1 40630 -0.80323069 -0.69110192 -46.021729 -39.597223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69102804--0.69110192) × R
    7.38800000000817e-05 × 6371000     		dl = 470.68948000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69102804--0.69110192) × R
    7.38800000000817e-05 × 6371000     		dr = 470.68948000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80332656--0.80323069) × cos(-0.69102804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770591221875659 × 6371000     		do = 470.667693990999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80332656--0.80323069) × cos(-0.69110192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770544133853134 × 6371000     		du = 470.638933202727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69102804)-sin(-0.69110192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770591221875659-0.770544133853134)×R²
    abs(-0.80323069--0.80332656)×4.70880225251769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70880225251769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70880225251769e-05×40589641000000     		ar = 221531.563538004m²