Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24385 / 40893
↖ ↑ ↗
← S 40.701464°
W 46.049194°		 ← 463.05 m → S 40.701464°
W 46.043701°		 →
↑
463.04 m
↓
↑
463.04 m
↓
S 40.705628°
W 46.049194°		 ← 463.02 m →
214 405 m²		 S 40.705628°
W 46.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372093200683594 y=0.623985290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372093200683594 × 216)
    floor (0.372093200683594 × 65536)
    floor (24385.5)     		tx = 24385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623985290527344 × 216)
    floor (0.623985290527344 × 65536)
    floor (40893.5)     		ty = 40893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24385 / 40893 ti = "16/24385/40893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24385/40893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24385 ÷ 216
    24385 ÷ 65536     		x = 0.372085571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40893 ÷ 216
    40893 ÷ 65536     		y = 0.623977661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372085571289062 × 2 - 1) × π
    -0.255828857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80371006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623977661132812 × 2 - 1) × π
    -0.247955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.778974618825912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80371006} λ = -0.80371006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778974618825912))-π/2
    2×atan(0.458876293267235)-π/2
    2×0.43021088827412-π/2
    0.86042177654824-1.57079632675     		φ = -0.71037455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80371006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.049194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71037455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.701464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24385 KachelY 40893 -0.80371006 -0.71037455 -46.049194 -40.701464
    Oben rechts KachelX + 1 24386 KachelY 40893 -0.80361419 -0.71037455 -46.043701 -40.701464
    Unten links KachelX 24385 KachelY + 1 40894 -0.80371006 -0.71044723 -46.049194 -40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 24386 KachelY + 1 40894 -0.80361419 -0.71044723 -46.043701 -40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71037455--0.71044723) × R
    7.26799999999361e-05 × 6371000     		dl = 463.044279999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71037455--0.71044723) × R
    7.26799999999361e-05 × 6371000     		dr = 463.044279999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80371006--0.80361419) × cos(-0.71037455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758117678462858 × 6371000     		do = 463.049006225896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80371006--0.80361419) × cos(-0.71044723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 463.02005615494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71037455)-sin(-0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758117678462858-0.758070280541062)×R²
    abs(-0.80361419--0.80371006)×4.73979217961995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73979217961995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73979217961995e-05×40589641000000     		ar = 214405.491204629m²