Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24383 / 40687
↖ ↑ ↗
← S 39.838068°
W 46.060181°		 ← 469.05 m → S 39.838068°
W 46.054687°		 →
↑
468.97 m
↓
↑
468.97 m
↓
S 39.842286°
W 46.060181°		 ← 469.02 m →
219 962 m²		 S 39.842286°
W 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372062683105469 y=0.620841979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372062683105469 × 216)
    floor (0.372062683105469 × 65536)
    floor (24383.5)     		tx = 24383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620841979980469 × 216)
    floor (0.620841979980469 × 65536)
    floor (40687.5)     		ty = 40687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24383 / 40687 ti = "16/24383/40687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24383/40687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24383 ÷ 216
    24383 ÷ 65536     		x = 0.372055053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40687 ÷ 216
    40687 ÷ 65536     		y = 0.620834350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.255889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80390181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620834350585938 × 2 - 1) × π
    -0.241668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.759224616182449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80390181} λ = -0.80390181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759224616182449))-π/2
    2×atan(0.468029188610987)-π/2
    2×0.437745434718287-π/2
    0.875490869436574-1.57079632675     		φ = -0.69530546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80390181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.060181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69530546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.838068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24383 KachelY 40687 -0.80390181 -0.69530546 -46.060181 -39.838068
    Oben rechts KachelX + 1 24384 KachelY 40687 -0.80380593 -0.69530546 -46.054687 -39.838068
    Unten links KachelX 24383 KachelY + 1 40688 -0.80390181 -0.69537907 -46.060181 -39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 24384 KachelY + 1 40688 -0.80380593 -0.69537907 -46.054687 -39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69530546--0.69537907) × R
    7.36099999999462e-05 × 6371000     		dl = 468.969309999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69530546--0.69537907) × R
    7.36099999999462e-05 × 6371000     		dr = 468.969309999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80390181--0.80380593) × cos(-0.69530546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767858053826815 × 6371000     		do = 469.047228610265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80390181--0.80380593) × cos(-0.69537907) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 469.018422002946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69530546)-sin(-0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767858053826815-0.76781089570694)×R²
    abs(-0.80380593--0.80390181)×4.71581198741022e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71581198741022e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71581198741022e-05×40589641000000     		ar = 219962.000550765m²