Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24383 / 40611
↖ ↑ ↗
← S 39.516755°
W 46.060181°		 ← 471.23 m → S 39.516755°
W 46.054687°		 →
↑
471.20 m
↓
↑
471.20 m
↓
S 39.520992°
W 46.060181°		 ← 471.21 m →
222 038 m²		 S 39.520992°
W 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372062683105469 y=0.619682312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372062683105469 × 216)
    floor (0.372062683105469 × 65536)
    floor (24383.5)     		tx = 24383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619682312011719 × 216)
    floor (0.619682312011719 × 65536)
    floor (40611.5)     		ty = 40611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24383 / 40611 ti = "16/24383/40611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24383/40611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24383 ÷ 216
    24383 ÷ 65536     		x = 0.372055053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40611 ÷ 216
    40611 ÷ 65536     		y = 0.619674682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372055053710938 × 2 - 1) × π
    -0.255889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80390181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.239349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.751938207440201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80390181} λ = -0.80390181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751938207440201))-π/2
    2×atan(0.47145189505849)-π/2
    2×0.440549423060739-π/2
    0.881098846121479-1.57079632675     		φ = -0.68969748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80390181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.060181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68969748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.516755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24383 KachelY 40611 -0.80390181 -0.68969748 -46.060181 -39.516755
    Oben rechts KachelX + 1 24384 KachelY 40611 -0.80380593 -0.68969748 -46.054687 -39.516755
    Unten links KachelX 24383 KachelY + 1 40612 -0.80390181 -0.68977144 -46.060181 -39.520992
    Unten rechts KachelX + 1 24384 KachelY + 1 40612 -0.80380593 -0.68977144 -46.054687 -39.520992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68969748--0.68977144) × R
    7.39600000000395e-05 × 6371000     		dl = 471.199160000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68969748--0.68977144) × R
    7.39600000000395e-05 × 6371000     		dr = 471.199160000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80390181--0.80380593) × cos(-0.68969748) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771438544930954 × 6371000     		do = 471.234376900356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80390181--0.80380593) × cos(-0.68977144) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.771391481789389 × 6371000     		du = 471.205628310678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68969748)-sin(-0.68977144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771438544930954-0.771391481789389)×R²
    abs(-0.80380593--0.80390181)×4.70631415654399e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70631415654399e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70631415654399e-05×40589641000000     		ar = 222038.469504125m²