Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24379 / 25545
↖ ↑ ↗
← S 70.411032°
E 87.835693°		 ← 409.58 m → S 70.411032°
E 87.846680°		 →
↑
409.53 m
↓
↑
409.53 m
↓
S 70.414715°
E 87.835693°		 ← 409.51 m →
167 719 m²		 S 70.414715°
E 87.846680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744003295898438 y=0.779586791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744003295898438 × 215)
    floor (0.744003295898438 × 32768)
    floor (24379.5)     		tx = 24379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779586791992188 × 215)
    floor (0.779586791992188 × 32768)
    floor (25545.5)     		ty = 25545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24379 / 25545 ti = "15/24379/25545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24379/25545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24379 ÷ 215
    24379 ÷ 32768     		x = 0.743988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25545 ÷ 215
    25545 ÷ 32768     		y = 0.779571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743988037109375 × 2 - 1) × π
    0.48797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53302205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.55914306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75659974967734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53302205} λ = 1.53302205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75659974967734))-π/2
    2×atan(0.172630855120739)-π/2
    2×0.170945999604028-π/2
    0.341891999208057-1.57079632675     		φ = -1.22890433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53302205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.835693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22890433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.411032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24379 KachelY 25545 1.53302205 -1.22890433 87.835693 -70.411032
    Oben rechts KachelX + 1 24380 KachelY 25545 1.53321380 -1.22890433 87.846680 -70.411032
    Unten links KachelX 24379 KachelY + 1 25546 1.53302205 -1.22896861 87.835693 -70.414715
    Unten rechts KachelX + 1 24380 KachelY + 1 25546 1.53321380 -1.22896861 87.846680 -70.414715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22890433--1.22896861) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dl = 409.527879999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22890433--1.22896861) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dr = 409.527879999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53302205-1.53321380) × cos(-1.22890433) × R
    0.000191749999999935 × 0.335270182998535 × 6371000     		do = 409.579214905554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53302205-1.53321380) × cos(-1.22896861) × R
    0.000191749999999935 × 0.335209622702346 × 6371000     		du = 409.505232070739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22890433)-sin(-1.22896861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335270182998535-0.335209622702346)×R²
    abs(1.53321380-1.53302205)×6.05602961887275e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05602961887275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05602961887275e-05×40589641000000     		ar = 167718.95861334m²