Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24378 / 40686
↖ ↑ ↗
← S 39.833850°
W 46.087647°		 ← 469.08 m → S 39.833850°
W 46.082153°		 →
↑
469.03 m
↓
↑
469.03 m
↓
S 39.838068°
W 46.087647°		 ← 469.05 m →
220 005 m²		 S 39.838068°
W 46.082153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371986389160156 y=0.620826721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371986389160156 × 216)
    floor (0.371986389160156 × 65536)
    floor (24378.5)     		tx = 24378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620826721191406 × 216)
    floor (0.620826721191406 × 65536)
    floor (40686.5)     		ty = 40686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24378 / 40686 ti = "16/24378/40686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24378/40686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24378 ÷ 216
    24378 ÷ 65536     		x = 0.371978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40686 ÷ 216
    40686 ÷ 65536     		y = 0.620819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.25604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80438118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.24163818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.759128742383209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80438118} λ = -0.80438118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.759128742383209))-π/2
    2×atan(0.468074062498535)-π/2
    2×0.437782244583179-π/2
    0.875564489166357-1.57079632675     		φ = -0.69523184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80438118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.087647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69523184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.833850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24378 KachelY 40686 -0.80438118 -0.69523184 -46.087647 -39.833850
    Oben rechts KachelX + 1 24379 KachelY 40686 -0.80428530 -0.69523184 -46.082153 -39.833850
    Unten links KachelX 24378 KachelY + 1 40687 -0.80438118 -0.69530546 -46.087647 -39.838068
    Unten rechts KachelX + 1 24379 KachelY + 1 40687 -0.80428530 -0.69530546 -46.082153 -39.838068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69523184--0.69530546) × R
    7.36199999999965e-05 × 6371000     		dl = 469.033019999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69523184--0.69530546) × R
    7.36199999999965e-05 × 6371000     		dr = 469.033019999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80438118--0.80428530) × cos(-0.69523184) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767905214191737 × 6371000     		do = 469.076036588975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80438118--0.80428530) × cos(-0.69530546) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.767858053826815 × 6371000     		du = 469.047228610265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69523184)-sin(-0.69530546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767905214191737-0.767858053826815)×R²
    abs(-0.80428530--0.80438118)×4.71603649222496e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71603649222496e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71603649222496e-05×40589641000000     		ar = 220005.394203384m²