Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24374 / 40690
↖ ↑ ↗
← S 39.850721°
W 46.109619°		 ← 468.91 m → S 39.850721°
W 46.104126°		 →
↑
468.91 m
↓
↑
468.91 m
↓
S 39.854938°
W 46.109619°		 ← 468.88 m →
219 869 m²		 S 39.854938°
W 46.104126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371925354003906 y=0.620887756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371925354003906 × 216)
    floor (0.371925354003906 × 65536)
    floor (24374.5)     		tx = 24374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620887756347656 × 216)
    floor (0.620887756347656 × 65536)
    floor (40690.5)     		ty = 40690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24374 / 40690 ti = "16/24374/40690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24374/40690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24374 ÷ 216
    24374 ÷ 65536     		x = 0.371917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40690 ÷ 216
    40690 ÷ 65536     		y = 0.620880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620880126953125 × 2 - 1) × π
    -0.24176025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75951223758017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80476467} λ = -0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75951223758017))-π/2
    2×atan(0.467894592758836)-π/2
    2×0.437635018688317-π/2
    0.875270037376634-1.57079632675     		φ = -0.69552629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69552629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.850721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24374 KachelY 40690 -0.80476467 -0.69552629 -46.109619 -39.850721
    Oben rechts KachelX + 1 24375 KachelY 40690 -0.80466880 -0.69552629 -46.104126 -39.850721
    Unten links KachelX 24374 KachelY + 1 40691 -0.80476467 -0.69559989 -46.109619 -39.854938
    Unten rechts KachelX + 1 24375 KachelY + 1 40691 -0.80466880 -0.69559989 -46.104126 -39.854938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69552629--0.69559989) × R
    7.3600000000007e-05 × 6371000     		dl = 468.905600000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69552629--0.69559989) × R
    7.3600000000007e-05 × 6371000     		dr = 468.905600000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80476467--0.80466880) × cos(-0.69552629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767716566986454 × 6371000     		do = 468.911889941702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80476467--0.80466880) × cos(-0.69559989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767669402794814 × 6371000     		du = 468.883082630266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69552629)-sin(-0.69559989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767716566986454-0.767669402794814)×R²
    abs(-0.80466880--0.80476467)×4.71641916403032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71641916403032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71641916403032e-05×40589641000000     		ar = 219868.657244643m²