Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2437 / 3964
↖ ↑ ↗
← N 67.642677°
W126.452637°		 ← 929.38 m → N 67.642677°
W126.430664°		 →
↑
929.53 m
↓
↑
929.53 m
↓
N 67.634317°
W126.452637°		 ← 929.71 m →
864 037 m²		 N 67.634317°
W126.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148773193359375 y=0.241973876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148773193359375 × 214)
    floor (0.148773193359375 × 16384)
    floor (2437.5)     		tx = 2437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241973876953125 × 214)
    floor (0.241973876953125 × 16384)
    floor (3964.5)     		ty = 3964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2437 / 3964 ti = "14/2437/3964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2437/3964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2437 ÷ 214
    2437 ÷ 16384     		x = 0.14874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3964 ÷ 214
    3964 ÷ 16384     		y = 0.241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14874267578125 × 2 - 1) × π
    -0.7025146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20701486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241943359375 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20701486} λ = -2.20701486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62141769274878))-π/2
    2×atan(5.06025912644879)-π/2
    2×1.37569187160597-π/2
    2.75138374321194-1.57079632675     		φ = 1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20701486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.452637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2437 KachelY 3964 -2.20701486 1.18058742 -126.452637 67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 2438 KachelY 3964 -2.20663136 1.18058742 -126.430664 67.642677
    Unten links KachelX 2437 KachelY + 1 3965 -2.20701486 1.18044152 -126.452637 67.634317
    Unten rechts KachelX + 1 2438 KachelY + 1 3965 -2.20663136 1.18044152 -126.430664 67.634317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18058742-1.18044152) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dl = 929.528899999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18058742-1.18044152) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dr = 929.528899999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20701486--2.20663136) × cos(1.18058742) × R
    0.000383500000000314 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 929.378250099139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20701486--2.20663136) × cos(1.18044152) × R
    0.000383500000000314 × 0.380516555204822 × 6371000     		du = 929.707918226766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18058742)-sin(1.18044152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.380516555204822)×R²
    abs(-2.20663136--2.20701486)×0.00013492859190084×R²
    0.000383500000000314×0.00013492859190084×6371000²
    0.000383500000000314×0.00013492859190084×40589641000000     		ar = 864037.16205754m²