Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24369 / 40515
↖ ↑ ↗
← S 39.108752°
W 46.137085°		 ← 473.94 m → S 39.108752°
W 46.131592°		 →
↑
473.94 m
↓
↑
473.94 m
↓
S 39.113014°
W 46.137085°		 ← 473.91 m →
224 612 m²		 S 39.113014°
W 46.131592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371849060058594 y=0.618217468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371849060058594 × 216)
    floor (0.371849060058594 × 65536)
    floor (24369.5)     		tx = 24369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618217468261719 × 216)
    floor (0.618217468261719 × 65536)
    floor (40515.5)     		ty = 40515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24369 / 40515 ti = "16/24369/40515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24369/40515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24369 ÷ 216
    24369 ÷ 65536     		x = 0.371841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40515 ÷ 216
    40515 ÷ 65536     		y = 0.618209838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371841430664062 × 2 - 1) × π
    -0.256317138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80524404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618209838867188 × 2 - 1) × π
    -0.236419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.74273432271315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80524404} λ = -0.80524404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74273432271315))-π/2
    2×atan(0.475811114056585)-π/2
    2×0.444109924623377-π/2
    0.888219849246754-1.57079632675     		φ = -0.68257648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80524404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.137085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68257648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.108752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24369 KachelY 40515 -0.80524404 -0.68257648 -46.137085 -39.108752
    Oben rechts KachelX + 1 24370 KachelY 40515 -0.80514817 -0.68257648 -46.131592 -39.108752
    Unten links KachelX 24369 KachelY + 1 40516 -0.80524404 -0.68265087 -46.137085 -39.113014
    Unten rechts KachelX + 1 24370 KachelY + 1 40516 -0.80514817 -0.68265087 -46.131592 -39.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68257648--0.68265087) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dl = 473.938689999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68257648--0.68265087) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dr = 473.938689999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80524404--0.80514817) × cos(-0.68257648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775950067033504 × 6371000     		do = 473.940811074734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80524404--0.80514817) × cos(-0.68265087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775903140095939 × 6371000     		du = 473.912148675186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68257648)-sin(-0.68265087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775950067033504-0.775903140095939)×R²
    abs(-0.80514817--0.80524404)×4.69269375653614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69269375653614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69269375653614e-05×40589641000000     		ar = 224612.095131646m²