Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24368 / 40623
↖ ↑ ↗
← S 39.567588°
W 46.142578°		 ← 470.84 m → S 39.567588°
W 46.137085°		 →
↑
470.88 m
↓
↑
470.88 m
↓
S 39.571822°
W 46.142578°		 ← 470.81 m →
221 703 m²		 S 39.571822°
W 46.137085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371833801269531 y=0.619865417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371833801269531 × 216)
    floor (0.371833801269531 × 65536)
    floor (24368.5)     		tx = 24368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619865417480469 × 216)
    floor (0.619865417480469 × 65536)
    floor (40623.5)     		ty = 40623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24368 / 40623 ti = "16/24368/40623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24368/40623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24368 ÷ 216
    24368 ÷ 65536     		x = 0.371826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40623 ÷ 216
    40623 ÷ 65536     		y = 0.619857788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371826171875 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80533991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619857788085938 × 2 - 1) × π
    -0.239715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.753088693031082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80533991} λ = -0.80533991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753088693031082))-π/2
    2×atan(0.470909808337705)-π/2
    2×0.440105821045217-π/2
    0.880211642090435-1.57079632675     		φ = -0.69058468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80533991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69058468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.567588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24368 KachelY 40623 -0.80533991 -0.69058468 -46.142578 -39.567588
    Oben rechts KachelX + 1 24369 KachelY 40623 -0.80524404 -0.69058468 -46.137085 -39.567588
    Unten links KachelX 24368 KachelY + 1 40624 -0.80533991 -0.69065859 -46.142578 -39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 24369 KachelY + 1 40624 -0.80524404 -0.69065859 -46.137085 -39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69058468--0.69065859) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dl = 470.880610000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69058468--0.69065859) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dr = 470.880610000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80533991--0.80524404) × cos(-0.69058468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770873712633117 × 6371000     		do = 470.840235890792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80533991--0.80524404) × cos(-0.69065859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 470.811478848823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69058468)-sin(-0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770873712633117-0.770826630744151)×R²
    abs(-0.80524404--0.80533991)×4.70818889661828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70818889661828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70818889661828e-05×40589641000000     		ar = 221702.767022693m²