Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24367 / 40819
↖ ↑ ↗
← S 40.392581°
W 46.148071°		 ← 465.24 m → S 40.392581°
W 46.142578°		 →
↑
465.15 m
↓
↑
465.15 m
↓
S 40.396764°
W 46.148071°		 ← 465.21 m →
216 397 m²		 S 40.396764°
W 46.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371818542480469 y=0.622856140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371818542480469 × 216)
    floor (0.371818542480469 × 65536)
    floor (24367.5)     		tx = 24367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622856140136719 × 216)
    floor (0.622856140136719 × 65536)
    floor (40819.5)     		ty = 40819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24367 / 40819 ti = "16/24367/40819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24367/40819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24367 ÷ 216
    24367 ÷ 65536     		x = 0.371810913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40819 ÷ 216
    40819 ÷ 65536     		y = 0.622848510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371810913085938 × 2 - 1) × π
    -0.256378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80543579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.245697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.771879957682144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80543579} λ = -0.80543579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771879957682144))-π/2
    2×atan(0.462143441023896)-π/2
    2×0.432906399937753-π/2
    0.865812799875505-1.57079632675     		φ = -0.70498353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80543579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.148071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70498353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.392581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24367 KachelY 40819 -0.80543579 -0.70498353 -46.148071 -40.392581
    Oben rechts KachelX + 1 24368 KachelY 40819 -0.80533991 -0.70498353 -46.142578 -40.392581
    Unten links KachelX 24367 KachelY + 1 40820 -0.80543579 -0.70505654 -46.148071 -40.396764
    Unten rechts KachelX + 1 24368 KachelY + 1 40820 -0.80533991 -0.70505654 -46.142578 -40.396764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70498353--0.70505654) × R
    7.3009999999929e-05 × 6371000     		dl = 465.146709999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70498353--0.70505654) × R
    7.3009999999929e-05 × 6371000     		dr = 465.146709999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80543579--0.80533991) × cos(-0.70498353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.761622224775936 × 6371000     		do = 465.238063204968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80543579--0.80533991) × cos(-0.70505654) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.76157491071201 × 6371000     		du = 465.209161338994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70498353)-sin(-0.70505654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761622224775936-0.76157491071201)×R²
    abs(-0.80533991--0.80543579)×4.73140639256631e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73140639256631e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73140639256631e-05×40589641000000     		ar = 216397.23275873m²