Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24366 / 40699
↖ ↑ ↗
← S 39.888665°
W 46.153564°		 ← 468.65 m → S 39.888665°
W 46.148071°		 →
↑
468.65 m
↓
↑
468.65 m
↓
S 39.892880°
W 46.153564°		 ← 468.62 m →
219 628 m²		 S 39.892880°
W 46.148071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371803283691406 y=0.621025085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371803283691406 × 216)
    floor (0.371803283691406 × 65536)
    floor (24366.5)     		tx = 24366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621025085449219 × 216)
    floor (0.621025085449219 × 65536)
    floor (40699.5)     		ty = 40699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24366 / 40699 ti = "16/24366/40699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24366/40699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24366 ÷ 216
    24366 ÷ 65536     		x = 0.371795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40699 ÷ 216
    40699 ÷ 65536     		y = 0.621017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371795654296875 × 2 - 1) × π
    -0.25640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80553166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.242034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.760375101773331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80553166} λ = -0.80553166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.760375101773331))-π/2
    2×atan(0.467491037400344)-π/2
    2×0.437303892694892-π/2
    0.874607785389784-1.57079632675     		φ = -0.69618854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80553166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.153564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69618854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.888665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24366 KachelY 40699 -0.80553166 -0.69618854 -46.153564 -39.888665
    Oben rechts KachelX + 1 24367 KachelY 40699 -0.80543579 -0.69618854 -46.148071 -39.888665
    Unten links KachelX 24366 KachelY + 1 40700 -0.80553166 -0.69626210 -46.153564 -39.892880
    Unten rechts KachelX + 1 24367 KachelY + 1 40700 -0.80543579 -0.69626210 -46.148071 -39.892880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69618854--0.69626210) × R
    7.3560000000028e-05 × 6371000     		dl = 468.650760000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69618854--0.69626210) × R
    7.3560000000028e-05 × 6371000     		dr = 468.650760000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80553166--0.80543579) × cos(-0.69618854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767292035774204 × 6371000     		do = 468.652591469276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80553166--0.80543579) × cos(-0.69626210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767244859828497 × 6371000     		du = 468.6237769786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69618854)-sin(-0.69626210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767292035774204-0.767244859828497)×R²
    abs(-0.80543579--0.80553166)×4.71759457072451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71759457072451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71759457072451e-05×40589641000000     		ar = 219627.64130079m²