Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24363 / 40570
↖ ↑ ↗
← S 39.342794°
W 46.170044°		 ← 472.36 m → S 39.342794°
W 46.164551°		 →
↑
472.35 m
↓
↑
472.35 m
↓
S 39.347042°
W 46.170044°		 ← 472.33 m →
223 112 m²		 S 39.347042°
W 46.164551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371757507324219 y=0.619056701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371757507324219 × 216)
    floor (0.371757507324219 × 65536)
    floor (24363.5)     		tx = 24363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619056701660156 × 216)
    floor (0.619056701660156 × 65536)
    floor (40570.5)     		ty = 40570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24363 / 40570 ti = "16/24363/40570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24363/40570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24363 ÷ 216
    24363 ÷ 65536     		x = 0.371749877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40570 ÷ 216
    40570 ÷ 65536     		y = 0.619049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371749877929688 × 2 - 1) × π
    -0.256500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80581928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.23809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.748007381671356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80581928} λ = -0.80581928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748007381671356))-π/2
    2×atan(0.473308737387295)-π/2
    2×0.442067513719998-π/2
    0.884135027439996-1.57079632675     		φ = -0.68666130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80581928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.170044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68666130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.342794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24363 KachelY 40570 -0.80581928 -0.68666130 -46.170044 -39.342794
    Oben rechts KachelX + 1 24364 KachelY 40570 -0.80572341 -0.68666130 -46.164551 -39.342794
    Unten links KachelX 24363 KachelY + 1 40571 -0.80581928 -0.68673544 -46.170044 -39.347042
    Unten rechts KachelX + 1 24364 KachelY + 1 40571 -0.80572341 -0.68673544 -46.164551 -39.347042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68666130--0.68673544) × R
    7.41399999999448e-05 × 6371000     		dl = 472.345939999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68666130--0.68673544) × R
    7.41399999999448e-05 × 6371000     		dr = 472.345939999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80581928--0.80572341) × cos(-0.68666130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773366919235212 × 6371000     		do = 472.363055991435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80581928--0.80572341) × cos(-0.68673544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773319915413204 × 6371000     		du = 472.334346631809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68666130)-sin(-0.68673544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773366919235212-0.773319915413204)×R²
    abs(-0.80572341--0.80581928)×4.70038220071745e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70038220071745e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70038220071745e-05×40589641000000     		ar = 223111.99143089m²