Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24361 / 40566
↖ ↑ ↗
← S 39.325799°
W 46.181030°		 ← 472.48 m → S 39.325799°
W 46.175537°		 →
↑
472.47 m
↓
↑
472.47 m
↓
S 39.330048°
W 46.181030°		 ← 472.45 m →
223 226 m²		 S 39.330048°
W 46.175537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371726989746094 y=0.618995666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371726989746094 × 216)
    floor (0.371726989746094 × 65536)
    floor (24361.5)     		tx = 24361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618995666503906 × 216)
    floor (0.618995666503906 × 65536)
    floor (40566.5)     		ty = 40566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24361 / 40566 ti = "16/24361/40566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24361/40566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24361 ÷ 216
    24361 ÷ 65536     		x = 0.371719360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40566 ÷ 216
    40566 ÷ 65536     		y = 0.618988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371719360351562 × 2 - 1) × π
    -0.256561279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80601103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.23797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.747623886474396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80601103} λ = -0.80601103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747623886474396))-π/2
    2×atan(0.47349028382363)-π/2
    2×0.442215822995162-π/2
    0.884431645990324-1.57079632675     		φ = -0.68636468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80601103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.181030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68636468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.325799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24361 KachelY 40566 -0.80601103 -0.68636468 -46.181030 -39.325799
    Oben rechts KachelX + 1 24362 KachelY 40566 -0.80591516 -0.68636468 -46.175537 -39.325799
    Unten links KachelX 24361 KachelY + 1 40567 -0.80601103 -0.68643884 -46.181030 -39.330048
    Unten rechts KachelX + 1 24362 KachelY + 1 40567 -0.80591516 -0.68643884 -46.175537 -39.330048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68636468--0.68643884) × R
    7.41600000000453e-05 × 6371000     		dl = 472.473360000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68636468--0.68643884) × R
    7.41600000000453e-05 × 6371000     		dr = 472.473360000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80601103--0.80591516) × cos(-0.68636468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773554930034448 × 6371000     		do = 472.477890688236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80601103--0.80591516) × cos(-0.68643884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.773507930545686 × 6371000     		du = 472.449183975304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68636468)-sin(-0.68643884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773554930034448-0.773507930545686)×R²
    abs(-0.80591516--0.80601103)×4.69994887621894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69994887621894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69994887621894e-05×40589641000000     		ar = 223226.435062923m²