Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24360 / 40681
↖ ↑ ↗
← S 39.812756°
W 46.186523°		 ← 469.17 m → S 39.812756°
W 46.181030°		 →
↑
469.16 m
↓
↑
469.16 m
↓
S 39.816975°
W 46.186523°		 ← 469.14 m →
220 110 m²		 S 39.816975°
W 46.181030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371711730957031 y=0.620750427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371711730957031 × 216)
    floor (0.371711730957031 × 65536)
    floor (24360.5)     		tx = 24360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620750427246094 × 216)
    floor (0.620750427246094 × 65536)
    floor (40681.5)     		ty = 40681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24360 / 40681 ti = "16/24360/40681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24360/40681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24360 ÷ 216
    24360 ÷ 65536     		x = 0.3717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40681 ÷ 216
    40681 ÷ 65536     		y = 0.620742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80610690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620742797851562 × 2 - 1) × π
    -0.241485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.758649373387009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80610690} λ = -0.80610690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758649373387009))-π/2
    2×atan(0.468298496481071)-π/2
    2×0.437966327816667-π/2
    0.875932655633335-1.57079632675     		φ = -0.69486367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80610690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.186523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69486367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.812756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24360 KachelY 40681 -0.80610690 -0.69486367 -46.186523 -39.812756
    Oben rechts KachelX + 1 24361 KachelY 40681 -0.80601103 -0.69486367 -46.181030 -39.812756
    Unten links KachelX 24360 KachelY + 1 40682 -0.80610690 -0.69493731 -46.186523 -39.816975
    Unten rechts KachelX + 1 24361 KachelY + 1 40682 -0.80601103 -0.69493731 -46.181030 -39.816975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69486367--0.69493731) × R
    7.36399999999859e-05 × 6371000     		dl = 469.16043999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69486367--0.69493731) × R
    7.36399999999859e-05 × 6371000     		dr = 469.16043999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80610690--0.80601103) × cos(-0.69486367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768140998401297 × 6371000     		do = 469.171127459091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80610690--0.80601103) × cos(-0.69493731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768093846046007 × 6371000     		du = 469.142327377154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69486367)-sin(-0.69493731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768140998401297-0.768093846046007)×R²
    abs(-0.80601103--0.80610690)×4.71523552896258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71523552896258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71523552896258e-05×40589641000000     		ar = 220109.776763728m²