Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2436 / 2647
↖ ↑ ↗
← S 46.498392°
E 34.101563°		 ← 6 727.48 m → S 46.498392°
E 34.189453°		 →
↑
6 723.76 m
↓
↑
6 723.76 m
↓
S 46.558860°
E 34.101563°		 ← 6 719.99 m →
45 208 809 m²		 S 46.558860°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5948486328125 y=0.6463623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5948486328125 × 212)
    floor (0.5948486328125 × 4096)
    floor (2436.5)     		tx = 2436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6463623046875 × 212)
    floor (0.6463623046875 × 4096)
    floor (2647.5)     		ty = 2647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2436 / 2647 ti = "12/2436/2647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2436/2647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2436 ÷ 212
    2436 ÷ 4096     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2647 ÷ 212
    2647 ÷ 4096     		y = 0.646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.29248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.918854491917236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918854491917236))-π/2
    2×atan(0.398975809433182)-π/2
    2×0.379623142508302-π/2
    0.759246285016604-1.57079632675     		φ = -0.81155004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81155004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.498392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2436 KachelY 2647 0.59518455 -0.81155004 34.101563 -46.498392
    Oben rechts KachelX + 1 2437 KachelY 2647 0.59671853 -0.81155004 34.189453 -46.498392
    Unten links KachelX 2436 KachelY + 1 2648 0.59518455 -0.81260541 34.101563 -46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 2437 KachelY + 1 2648 0.59671853 -0.81260541 34.189453 -46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81155004--0.81260541) × R
    0.00105537 × 6371000     		dl = 6723.76227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81155004--0.81260541) × R
    0.00105537 × 6371000     		dr = 6723.76227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(-0.81155004) × R
    0.00153397999999993 × 0.688374931006971 × 6371000     		do = 6727.47896273926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(-0.81260541) × R
    0.00153397999999993 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 6719.99382079329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81155004)-sin(-0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688374931006971-0.687609029827766)×R²
    abs(0.59671853-0.59518455)×0.000765901179204387×R²
    0.00153397999999993×0.000765901179204387×6371000²
    0.00153397999999993×0.000765901179204387×40589641000000     		ar = 45208809.2605382m²