Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24357 / 25446
↖ ↑ ↗
← S 70.043098°
E 87.593994°		 ← 416.96 m → S 70.043098°
E 87.604980°		 →
↑
416.92 m
↓
↑
416.92 m
↓
S 70.046848°
E 87.593994°		 ← 416.89 m →
173 823 m²		 S 70.046848°
E 87.604980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743331909179688 y=0.776565551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743331909179688 × 215)
    floor (0.743331909179688 × 32768)
    floor (24357.5)     		tx = 24357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776565551757812 × 215)
    floor (0.776565551757812 × 32768)
    floor (25446.5)     		ty = 25446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24357 / 25446 ti = "15/24357/25446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24357/25446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24357 ÷ 215
    24357 ÷ 32768     		x = 0.743316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25446 ÷ 215
    25446 ÷ 32768     		y = 0.77655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743316650390625 × 2 - 1) × π
    0.48663330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.52880360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.5531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7376167374278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52880360} λ = 1.52880360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7376167374278))-π/2
    2×atan(0.175939210687394)-π/2
    2×0.174156822952639-π/2
    0.348313645905277-1.57079632675     		φ = -1.22248268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52880360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.593994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22248268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.043098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24357 KachelY 25446 1.52880360 -1.22248268 87.593994 -70.043098
    Oben rechts KachelX + 1 24358 KachelY 25446 1.52899535 -1.22248268 87.604980 -70.043098
    Unten links KachelX 24357 KachelY + 1 25447 1.52880360 -1.22254812 87.593994 -70.046848
    Unten rechts KachelX + 1 24358 KachelY + 1 25447 1.52899535 -1.22254812 87.604980 -70.046848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22248268--1.22254812) × R
    6.54399999999722e-05 × 6371000     		dl = 416.918239999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22248268--1.22254812) × R
    6.54399999999722e-05 × 6371000     		dr = 416.918239999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52880360-1.52899535) × cos(-1.22248268) × R
    0.000191749999999935 × 0.341313206457098 × 6371000     		do = 416.961609551203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52880360-1.52899535) × cos(-1.22254812) × R
    0.000191749999999935 × 0.341251695422948 × 6371000     		du = 416.886465257577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22248268)-sin(-1.22254812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341313206457098-0.341251695422948)×R²
    abs(1.52899535-1.52880360)×6.15110341499192e-05×R²
    0.000191749999999935×6.15110341499192e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.15110341499192e-05×40589641000000     		ar = 173823.235950356m²