Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24355 / 40581
↖ ↑ ↗
← S 39.389509°
W 46.213989°		 ← 472.05 m → S 39.389509°
W 46.208496°		 →
↑
472.03 m
↓
↑
472.03 m
↓
S 39.393754°
W 46.213989°		 ← 472.02 m →
222 812 m²		 S 39.393754°
W 46.208496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371635437011719 y=0.619224548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371635437011719 × 216)
    floor (0.371635437011719 × 65536)
    floor (24355.5)     		tx = 24355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619224548339844 × 216)
    floor (0.619224548339844 × 65536)
    floor (40581.5)     		ty = 40581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24355 / 40581 ti = "16/24355/40581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24355/40581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24355 ÷ 216
    24355 ÷ 65536     		x = 0.371627807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40581 ÷ 216
    40581 ÷ 65536     		y = 0.619216918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371627807617188 × 2 - 1) × π
    -0.256744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80658627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619216918945312 × 2 - 1) × π
    -0.238433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.749061993462997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80658627} λ = -0.80658627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749061993462997))-π/2
    2×atan(0.472809843527672)-π/2
    2×0.441659849122271-π/2
    0.883319698244542-1.57079632675     		φ = -0.68747663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80658627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.213989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68747663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.389509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24355 KachelY 40581 -0.80658627 -0.68747663 -46.213989 -39.389509
    Oben rechts KachelX + 1 24356 KachelY 40581 -0.80649040 -0.68747663 -46.208496 -39.389509
    Unten links KachelX 24355 KachelY + 1 40582 -0.80658627 -0.68755072 -46.213989 -39.393754
    Unten rechts KachelX + 1 24356 KachelY + 1 40582 -0.80649040 -0.68755072 -46.208496 -39.393754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68747663--0.68755072) × R
    7.40899999999156e-05 × 6371000     		dl = 472.027389999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68747663--0.68755072) × R
    7.40899999999156e-05 × 6371000     		dr = 472.027389999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80658627--0.80649040) × cos(-0.68747663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772849776708886 × 6371000     		do = 472.047191661008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80658627--0.80649040) × cos(-0.68755072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772802757887321 × 6371000     		du = 472.018473139836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68747663)-sin(-0.68755072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772849776708886-0.772802757887321)×R²
    abs(-0.80649040--0.80658627)×4.70188215646594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70188215646594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70188215646594e-05×40589641000000     		ar = 222812.425974182m²