Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24355 / 25442
↖ ↑ ↗
← S 70.028093°
E 87.572022°		 ← 417.26 m → S 70.028093°
E 87.583008°		 →
↑
417.24 m
↓
↑
417.24 m
↓
S 70.031846°
E 87.572022°		 ← 417.19 m →
174 081 m²		 S 70.031846°
E 87.583008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.743270874023438 y=0.776443481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.743270874023438 × 215)
    floor (0.743270874023438 × 32768)
    floor (24355.5)     		tx = 24355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776443481445312 × 215)
    floor (0.776443481445312 × 32768)
    floor (25442.5)     		ty = 25442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24355 / 25442 ti = "15/24355/25442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24355/25442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24355 ÷ 215
    24355 ÷ 32768     		x = 0.743255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25442 ÷ 215
    25442 ÷ 32768     		y = 0.77642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.743255615234375 × 2 - 1) × π
    0.48651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52842011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.5528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73684974703387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52842011} λ = 1.52842011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73684974703387))-π/2
    2×atan(0.176074206135393)-π/2
    2×0.174287762119626-π/2
    0.348575524239252-1.57079632675     		φ = -1.22222080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52842011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.572022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22222080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.028093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24355 KachelY 25442 1.52842011 -1.22222080 87.572022 -70.028093
    Oben rechts KachelX + 1 24356 KachelY 25442 1.52861186 -1.22222080 87.583008 -70.028093
    Unten links KachelX 24355 KachelY + 1 25443 1.52842011 -1.22228629 87.572022 -70.031846
    Unten rechts KachelX + 1 24356 KachelY + 1 25443 1.52861186 -1.22228629 87.583008 -70.031846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22222080--1.22228629) × R
    6.54899999998904e-05 × 6371000     		dl = 417.236789999301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22222080--1.22228629) × R
    6.54899999998904e-05 × 6371000     		dr = 417.236789999301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52842011-1.52861186) × cos(-1.22222080) × R
    0.000191749999999935 × 0.341559348757916 × 6371000     		do = 417.262306646967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52842011-1.52861186) × cos(-1.22228629) × R
    0.000191749999999935 × 0.34149779658045 × 6371000     		du = 417.187112091052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22222080)-sin(-1.22228629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341559348757916-0.34149779658045)×R²
    abs(1.52861186-1.52842011)×6.15521774657846e-05×R²
    0.000191749999999935×6.15521774657846e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.15521774657846e-05×40589641000000     		ar = 174081.498508224m²