Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24352 / 40610
↖ ↑ ↗
← S 39.512517°
W 46.230468°		 ← 471.21 m → S 39.512517°
W 46.224976°		 →
↑
471.20 m
↓
↑
471.20 m
↓
S 39.516755°
W 46.230468°		 ← 471.19 m →
222 029 m²		 S 39.516755°
W 46.224976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371589660644531 y=0.619667053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371589660644531 × 216)
    floor (0.371589660644531 × 65536)
    floor (24352.5)     		tx = 24352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619667053222656 × 216)
    floor (0.619667053222656 × 65536)
    floor (40610.5)     		ty = 40610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24352 / 40610 ti = "16/24352/40610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24352/40610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24352 ÷ 216
    24352 ÷ 65536     		x = 0.37158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40610 ÷ 216
    40610 ÷ 65536     		y = 0.619659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80687389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.751842333640961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80687389} λ = -0.80687389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.751842333640961))-π/2
    2×atan(0.47149709710964)-π/2
    2×0.440586404560791-π/2
    0.881172809121582-1.57079632675     		φ = -0.68962352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80687389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.230468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68962352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.512517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24352 KachelY 40610 -0.80687389 -0.68962352 -46.230468 -39.512517
    Oben rechts KachelX + 1 24353 KachelY 40610 -0.80677802 -0.68962352 -46.224976 -39.512517
    Unten links KachelX 24352 KachelY + 1 40611 -0.80687389 -0.68969748 -46.230468 -39.516755
    Unten rechts KachelX + 1 24353 KachelY + 1 40611 -0.80677802 -0.68969748 -46.224976 -39.516755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68962352--0.68969748) × R
    7.39599999999285e-05 × 6371000     		dl = 471.199159999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68962352--0.68969748) × R
    7.39599999999285e-05 × 6371000     		dr = 471.199159999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80687389--0.80677802) × cos(-0.68962352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771485603852687 × 6371000     		do = 471.213971564276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80687389--0.80677802) × cos(-0.68969748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771438544930954 × 6371000     		du = 471.185228550412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68962352)-sin(-0.68969748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771485603852687-0.771438544930954)×R²
    abs(-0.80677802--0.80687389)×4.70589217335116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70589217335116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70589217335116e-05×40589641000000     		ar = 222028.85584052m²