Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24352 / 40510
↖ ↑ ↗
← S 39.087436°
W 46.230468°		 ← 474.08 m → S 39.087436°
W 46.224976°		 →
↑
474.13 m
↓
↑
474.13 m
↓
S 39.091700°
W 46.230468°		 ← 474.06 m →
224 771 m²		 S 39.091700°
W 46.224976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371589660644531 y=0.618141174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371589660644531 × 216)
    floor (0.371589660644531 × 65536)
    floor (24352.5)     		tx = 24352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618141174316406 × 216)
    floor (0.618141174316406 × 65536)
    floor (40510.5)     		ty = 40510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24352 / 40510 ti = "16/24352/40510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24352/40510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24352 ÷ 216
    24352 ÷ 65536     		x = 0.37158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40510 ÷ 216
    40510 ÷ 65536     		y = 0.618133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37158203125 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80687389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.23626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.742254953716949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80687389} λ = -0.80687389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742254953716949))-π/2
    2×atan(0.476039257830868)-π/2
    2×0.444295935943762-π/2
    0.888591871887524-1.57079632675     		φ = -0.68220445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80687389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.230468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68220445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.087436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24352 KachelY 40510 -0.80687389 -0.68220445 -46.230468 -39.087436
    Oben rechts KachelX + 1 24353 KachelY 40510 -0.80677802 -0.68220445 -46.224976 -39.087436
    Unten links KachelX 24352 KachelY + 1 40511 -0.80687389 -0.68227887 -46.230468 -39.091700
    Unten rechts KachelX + 1 24353 KachelY + 1 40511 -0.80677802 -0.68227887 -46.224976 -39.091700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68220445--0.68227887) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dl = 474.129820000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68220445--0.68227887) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dr = 474.129820000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80687389--0.80677802) × cos(-0.68220445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776184687746463 × 6371000     		do = 474.084114536798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80687389--0.80677802) × cos(-0.68227887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776137763369255 × 6371000     		du = 474.055453701084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68220445)-sin(-0.68227887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776184687746463-0.776137763369255)×R²
    abs(-0.80677802--0.80687389)×4.69243772086569e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69243772086569e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69243772086569e-05×40589641000000     		ar = 224770.621515405m²