Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24351 / 40518
↖ ↑ ↗
← S 39.121538°
W 46.235962°		 ← 473.90 m → S 39.121538°
W 46.230468°		 →
↑
473.81 m
↓
↑
473.81 m
↓
S 39.125799°
W 46.235962°		 ← 473.88 m →
224 534 m²		 S 39.125799°
W 46.230468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371574401855469 y=0.618263244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371574401855469 × 216)
    floor (0.371574401855469 × 65536)
    floor (24351.5)     		tx = 24351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618263244628906 × 216)
    floor (0.618263244628906 × 65536)
    floor (40518.5)     		ty = 40518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24351 / 40518 ti = "16/24351/40518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24351/40518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24351 ÷ 216
    24351 ÷ 65536     		x = 0.371566772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40518 ÷ 216
    40518 ÷ 65536     		y = 0.618255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371566772460938 × 2 - 1) × π
    -0.256866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80696977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618255615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23651123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.74302194411087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80696977} λ = -0.80696977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74302194411087))-π/2
    2×atan(0.475674280278013)-π/2
    2×0.443998344824925-π/2
    0.887996689649849-1.57079632675     		φ = -0.68279964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80696977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.235962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68279964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.121538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24351 KachelY 40518 -0.80696977 -0.68279964 -46.235962 -39.121538
    Oben rechts KachelX + 1 24352 KachelY 40518 -0.80687389 -0.68279964 -46.230468 -39.121538
    Unten links KachelX 24351 KachelY + 1 40519 -0.80696977 -0.68287401 -46.235962 -39.125799
    Unten rechts KachelX + 1 24352 KachelY + 1 40519 -0.80687389 -0.68287401 -46.230468 -39.125799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68279964--0.68287401) × R
    7.43699999999903e-05 × 6371000     		dl = 473.811269999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68279964--0.68287401) × R
    7.43699999999903e-05 × 6371000     		dr = 473.811269999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80696977--0.80687389) × cos(-0.68279964) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.775809279649497 × 6371000     		do = 473.904246671867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80696977--0.80687389) × cos(-0.68287401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.775762352452545 × 6371000     		du = 473.875581124157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68279964)-sin(-0.68287401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775809279649497-0.775762352452545)×R²
    abs(-0.80687389--0.80696977)×4.69271969515406e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69271969515406e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69271969515406e-05×40589641000000     		ar = 224534.382047569m²