Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2435 / 2646
↖ ↑ ↗
← S 46.437857°
E 34.013672°		 ← 6 735.01 m → S 46.437857°
E 34.101563°		 →
↑
6 731.22 m
↓
↑
6 731.22 m
↓
S 46.498392°
E 34.013672°		 ← 6 727.52 m →
45 309 611 m²		 S 46.498392°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5946044921875 y=0.6461181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5946044921875 × 212)
    floor (0.5946044921875 × 4096)
    floor (2435.5)     		tx = 2435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6461181640625 × 212)
    floor (0.6461181640625 × 4096)
    floor (2646.5)     		ty = 2646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2435 / 2646 ti = "12/2435/2646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2435/2646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2435 ÷ 212
    2435 ÷ 4096     		x = 0.594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2646 ÷ 212
    2646 ÷ 4096     		y = 0.64599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59365056} λ = 0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917320511129395))-π/2
    2×atan(0.399588300314184)-π/2
    2×0.380151413212421-π/2
    0.760302826424842-1.57079632675     		φ = -0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2435 KachelY 2646 0.59365056 -0.81049350 34.013672 -46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 2436 KachelY 2646 0.59518455 -0.81049350 34.101563 -46.437857
    Unten links KachelX 2435 KachelY + 1 2647 0.59365056 -0.81155004 34.013672 -46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 2436 KachelY + 1 2647 0.59518455 -0.81155004 34.101563 -46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81049350--0.81155004) × R
    0.00105653999999999 × 6371000     		dl = 6731.21633999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81049350--0.81155004) × R
    0.00105653999999999 × 6371000     		dr = 6731.21633999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59365056-0.59518455) × cos(-0.81049350) × R
    0.00153398999999999 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 6735.00880242789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59365056-0.59518455) × cos(-0.81155004) × R
    0.00153398999999999 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 6727.52281910634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81049350)-sin(-0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.688374931006971)×R²
    abs(0.59518455-0.59365056)×0.000765982277734945×R²
    0.00153398999999999×0.000765982277734945×6371000²
    0.00153398999999999×0.000765982277734945×40589641000000     		ar = 45309610.6291541m²