Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2435 / 1844
↖ ↑ ↗
← N 17.644022°
E 34.013672°		 ← 9 313.31 m → N 17.644022°
E 34.101563°		 →
↑
9 315.42 m
↓
↑
9 315.42 m
↓
N 17.560247°
E 34.013672°		 ← 9 317.63 m →
86 777 523 m²		 N 17.560247°
E 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5946044921875 y=0.4503173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5946044921875 × 212)
    floor (0.5946044921875 × 4096)
    floor (2435.5)     		tx = 2435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4503173828125 × 212)
    floor (0.4503173828125 × 4096)
    floor (1844.5)     		ty = 1844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2435 / 1844 ti = "12/2435/1844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2435/1844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2435 ÷ 212
    2435 ÷ 4096     		x = 0.594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1844 ÷ 212
    1844 ÷ 4096     		y = 0.4501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.594482421875 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4501953125 × 2 - 1) × π
    0.099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.312932080719727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59365056} λ = 0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312932080719727))-π/2
    2×atan(1.3674286531036)-π/2
    2×0.939371302233579-π/2
    1.87874260446716-1.57079632675     		φ = 0.30794628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30794628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.644022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2435 KachelY 1844 0.59365056 0.30794628 34.013672 17.644022
    Oben rechts KachelX + 1 2436 KachelY 1844 0.59518455 0.30794628 34.101563 17.644022
    Unten links KachelX 2435 KachelY + 1 1845 0.59365056 0.30648412 34.013672 17.560247
    Unten rechts KachelX + 1 2436 KachelY + 1 1845 0.59518455 0.30648412 34.101563 17.560247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30794628-0.30648412) × R
    0.00146215999999999 × 6371000     		dl = 9315.42135999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30794628-0.30648412) × R
    0.00146215999999999 × 6371000     		dr = 9315.42135999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59365056-0.59518455) × cos(0.30794628) × R
    0.00153398999999999 × 0.952958066108848 × 6371000     		do = 9313.30710434283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59365056-0.59518455) × cos(0.30648412) × R
    0.00153398999999999 × 0.95340023114688 × 6371000     		du = 9317.62840549599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30794628)-sin(0.30648412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952958066108848-0.95340023114688)×R²
    abs(0.59518455-0.59365056)×0.000442165038031406×R²
    0.00153398999999999×0.000442165038031406×6371000²
    0.00153398999999999×0.000442165038031406×40589641000000     		ar = 86777522.7627946m²