Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24347 / 40507
↖ ↑ ↗
← S 39.074644°
W 46.257934°		 ← 474.17 m → S 39.074644°
W 46.252441°		 →
↑
474.13 m
↓
↑
474.13 m
↓
S 39.078908°
W 46.257934°		 ← 474.14 m →
224 811 m²		 S 39.078908°
W 46.252441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371513366699219 y=0.618095397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371513366699219 × 216)
    floor (0.371513366699219 × 65536)
    floor (24347.5)     		tx = 24347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618095397949219 × 216)
    floor (0.618095397949219 × 65536)
    floor (40507.5)     		ty = 40507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24347 / 40507 ti = "16/24347/40507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24347/40507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24347 ÷ 216
    24347 ÷ 65536     		x = 0.371505737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40507 ÷ 216
    40507 ÷ 65536     		y = 0.618087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371505737304688 × 2 - 1) × π
    -0.256988525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80735326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618087768554688 × 2 - 1) × π
    -0.236175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.741967332319229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80735326} λ = -0.80735326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741967332319229))-π/2
    2×atan(0.476176196599891)-π/2
    2×0.444407569726694-π/2
    0.888815139453387-1.57079632675     		φ = -0.68198119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80735326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.257934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68198119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.074644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24347 KachelY 40507 -0.80735326 -0.68198119 -46.257934 -39.074644
    Oben rechts KachelX + 1 24348 KachelY 40507 -0.80725739 -0.68198119 -46.252441 -39.074644
    Unten links KachelX 24347 KachelY + 1 40508 -0.80735326 -0.68205561 -46.257934 -39.078908
    Unten rechts KachelX + 1 24348 KachelY + 1 40508 -0.80725739 -0.68205561 -46.252441 -39.078908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68198119--0.68205561) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dl = 474.129820000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68198119--0.68205561) × R
    7.44200000000195e-05 × 6371000     		dr = 474.129820000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80735326--0.80725739) × cos(-0.68198119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776325435084418 × 6371000     		do = 474.170081289481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80735326--0.80725739) × cos(-0.68205561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776278523604305 × 6371000     		du = 474.141428331155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68198119)-sin(-0.68205561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776325435084418-0.776278523604305)×R²
    abs(-0.80725739--0.80735326)×4.69114801133763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69114801133763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69114801133763e-05×40589641000000     		ar = 224811.382784017m²