Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24345 / 40505
↖ ↑ ↗
← S 39.066114°
W 46.268921°		 ← 474.23 m → S 39.066114°
W 46.263428°		 →
↑
474.26 m
↓
↑
474.26 m
↓
S 39.070379°
W 46.268921°		 ← 474.20 m →
224 899 m²		 S 39.070379°
W 46.263428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371482849121094 y=0.618064880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371482849121094 × 216)
    floor (0.371482849121094 × 65536)
    floor (24345.5)     		tx = 24345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618064880371094 × 216)
    floor (0.618064880371094 × 65536)
    floor (40505.5)     		ty = 40505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24345 / 40505 ti = "16/24345/40505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24345/40505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24345 ÷ 216
    24345 ÷ 65536     		x = 0.371475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40505 ÷ 216
    40505 ÷ 65536     		y = 0.618057250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371475219726562 × 2 - 1) × π
    -0.257049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80754501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618057250976562 × 2 - 1) × π
    -0.236114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.741775584720749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80754501} λ = -0.80754501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741775584720749))-π/2
    2×atan(0.476267510996421)-π/2
    2×0.444482003493605-π/2
    0.888964006987209-1.57079632675     		φ = -0.68183232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80754501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.268921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68183232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.066114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24345 KachelY 40505 -0.80754501 -0.68183232 -46.268921 -39.066114
    Oben rechts KachelX + 1 24346 KachelY 40505 -0.80744914 -0.68183232 -46.263428 -39.066114
    Unten links KachelX 24345 KachelY + 1 40506 -0.80754501 -0.68190676 -46.268921 -39.070379
    Unten rechts KachelX + 1 24346 KachelY + 1 40506 -0.80744914 -0.68190676 -46.263428 -39.070379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68183232--0.68190676) × R
    7.44399999998979e-05 × 6371000     		dl = 474.25723999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68183232--0.68190676) × R
    7.44399999998979e-05 × 6371000     		dr = 474.25723999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80754501--0.80744914) × cos(-0.68183232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776419264052233 × 6371000     		do = 474.227390875494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80754501--0.80744914) × cos(-0.68190676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		du = 474.198735471333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68183232)-sin(-0.68190676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776419264052233-0.776372348567726)×R²
    abs(-0.80744914--0.80754501)×4.6915484507748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6915484507748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6915484507748e-05×40589641000000     		ar = 224898.978615919m²