Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24344 / 40503
↖ ↑ ↗
← S 39.057584°
W 46.274414°		 ← 474.28 m → S 39.057584°
W 46.268921°		 →
↑
474.32 m
↓
↑
474.32 m
↓
S 39.061849°
W 46.274414°		 ← 474.26 m →
224 956 m²		 S 39.061849°
W 46.268921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371467590332031 y=0.618034362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371467590332031 × 216)
    floor (0.371467590332031 × 65536)
    floor (24344.5)     		tx = 24344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618034362792969 × 216)
    floor (0.618034362792969 × 65536)
    floor (40503.5)     		ty = 40503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24344 / 40503 ti = "16/24344/40503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24344/40503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24344 ÷ 216
    24344 ÷ 65536     		x = 0.3714599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40503 ÷ 216
    40503 ÷ 65536     		y = 0.618026733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618026733398438 × 2 - 1) × π
    -0.236053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.741583837122269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80764088} λ = -0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741583837122269))-π/2
    2×atan(0.476358842903946)-π/2
    2×0.444556446255825-π/2
    0.88911289251165-1.57079632675     		φ = -0.68168343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68168343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.057584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24344 KachelY 40503 -0.80764088 -0.68168343 -46.274414 -39.057584
    Oben rechts KachelX + 1 24345 KachelY 40503 -0.80754501 -0.68168343 -46.268921 -39.057584
    Unten links KachelX 24344 KachelY + 1 40504 -0.80764088 -0.68175788 -46.274414 -39.061849
    Unten rechts KachelX + 1 24345 KachelY + 1 40504 -0.80754501 -0.68175788 -46.268921 -39.061849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68168343--0.68175788) × R
    7.44500000000592e-05 × 6371000     		dl = 474.320950000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68168343--0.68175788) × R
    7.44500000000592e-05 × 6371000     		dr = 474.320950000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80764088--0.80754501) × cos(-0.68168343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776513088414852 × 6371000     		do = 474.28469764871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80764088--0.80754501) × cos(-0.68175788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776466175234358 × 6371000     		du = 474.256043651813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68168343)-sin(-0.68175788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776513088414852-0.776466175234358)×R²
    abs(-0.80754501--0.80764088)×4.69131804937684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69131804937684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69131804937684e-05×40589641000000     		ar = 224956.372868167m²