Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24343 / 40522
↖ ↑ ↗
← S 39.138582°
W 46.279907°		 ← 473.79 m → S 39.138582°
W 46.274414°		 →
↑
473.75 m
↓
↑
473.75 m
↓
S 39.142842°
W 46.279907°		 ← 473.76 m →
224 450 m²		 S 39.142842°
W 46.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371452331542969 y=0.618324279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371452331542969 × 216)
    floor (0.371452331542969 × 65536)
    floor (24343.5)     		tx = 24343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618324279785156 × 216)
    floor (0.618324279785156 × 65536)
    floor (40522.5)     		ty = 40522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24343 / 40522 ti = "16/24343/40522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24343/40522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24343 ÷ 216
    24343 ÷ 65536     		x = 0.371444702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40522 ÷ 216
    40522 ÷ 65536     		y = 0.618316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371444702148438 × 2 - 1) × π
    -0.257110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80773676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.23663330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.743405439307831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80773676} λ = -0.80773676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.743405439307831))-π/2
    2×atan(0.475491896450105)-π/2
    2×0.443849603256969-π/2
    0.887699206513939-1.57079632675     		φ = -0.68309712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80773676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.279907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68309712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.138582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24343 KachelY 40522 -0.80773676 -0.68309712 -46.279907 -39.138582
    Oben rechts KachelX + 1 24344 KachelY 40522 -0.80764088 -0.68309712 -46.274414 -39.138582
    Unten links KachelX 24343 KachelY + 1 40523 -0.80773676 -0.68317148 -46.279907 -39.142842
    Unten rechts KachelX + 1 24344 KachelY + 1 40523 -0.80764088 -0.68317148 -46.274414 -39.142842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68309712--0.68317148) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dl = 473.747560000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68309712--0.68317148) × R
    7.43600000000511e-05 × 6371000     		dr = 473.747560000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80773676--0.80764088) × cos(-0.68309712) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.775621545118759 × 6371000     		do = 473.789568755919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80773676--0.80764088) × cos(-0.68317148) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.775574607073278 × 6371000     		du = 473.760896581368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68309712)-sin(-0.68317148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775621545118759-0.775574607073278)×R²
    abs(-0.80764088--0.80773676)×4.69380454812818e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69380454812818e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69380454812818e-05×40589641000000     		ar = 224449.860568907m²