Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24343 / 40511
↖ ↑ ↗
← S 39.091700°
W 46.279907°		 ← 474.10 m → S 39.091700°
W 46.274414°		 →
↑
474.07 m
↓
↑
474.07 m
↓
S 39.095963°
W 46.279907°		 ← 474.08 m →
224 750 m²		 S 39.095963°
W 46.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371452331542969 y=0.618156433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371452331542969 × 216)
    floor (0.371452331542969 × 65536)
    floor (24343.5)     		tx = 24343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618156433105469 × 216)
    floor (0.618156433105469 × 65536)
    floor (40511.5)     		ty = 40511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24343 / 40511 ti = "16/24343/40511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24343/40511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24343 ÷ 216
    24343 ÷ 65536     		x = 0.371444702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40511 ÷ 216
    40511 ÷ 65536     		y = 0.618148803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371444702148438 × 2 - 1) × π
    -0.257110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80773676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618148803710938 × 2 - 1) × π
    -0.236297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.74235082751619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80773676} λ = -0.80773676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74235082751619))-π/2
    2×atan(0.475993620326388)-π/2
    2×0.444258729181048-π/2
    0.888517458362096-1.57079632675     		φ = -0.68227887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80773676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.279907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68227887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.091700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24343 KachelY 40511 -0.80773676 -0.68227887 -46.279907 -39.091700
    Oben rechts KachelX + 1 24344 KachelY 40511 -0.80764088 -0.68227887 -46.274414 -39.091700
    Unten links KachelX 24343 KachelY + 1 40512 -0.80773676 -0.68235328 -46.279907 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 24344 KachelY + 1 40512 -0.80764088 -0.68235328 -46.274414 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68227887--0.68235328) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dl = 474.066109999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68227887--0.68235328) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dr = 474.066109999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80773676--0.80764088) × cos(-0.68227887) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.776137763369255 × 6371000     		do = 474.104901438237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80773676--0.80764088) × cos(-0.68235328) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 474.076238839377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68227887)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776137763369255-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.80764088--0.80773676)×4.69223695093168e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.69223695093168e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.69223695093168e-05×40589641000000     		ar = 224750.272476928m²