Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24341 / 40506
↖ ↑ ↗
← S 39.070379°
W 46.290894°		 ← 474.25 m → S 39.070379°
W 46.285400°		 →
↑
474.19 m
↓
↑
474.19 m
↓
S 39.074644°
W 46.290894°		 ← 474.22 m →
224 879 m²		 S 39.074644°
W 46.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371421813964844 y=0.618080139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371421813964844 × 216)
    floor (0.371421813964844 × 65536)
    floor (24341.5)     		tx = 24341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618080139160156 × 216)
    floor (0.618080139160156 × 65536)
    floor (40506.5)     		ty = 40506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24341 / 40506 ti = "16/24341/40506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24341/40506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24341 ÷ 216
    24341 ÷ 65536     		x = 0.371414184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40506 ÷ 216
    40506 ÷ 65536     		y = 0.618072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371414184570312 × 2 - 1) × π
    -0.257171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80792851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.23614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.741871458519989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80792851} λ = -0.80792851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741871458519989))-π/2
    2×atan(0.476221851609492)-π/2
    2×0.4444447854857-π/2
    0.888889570971401-1.57079632675     		φ = -0.68190676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80792851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.290894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68190676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.070379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24341 KachelY 40506 -0.80792851 -0.68190676 -46.290894 -39.070379
    Oben rechts KachelX + 1 24342 KachelY 40506 -0.80783263 -0.68190676 -46.285400 -39.070379
    Unten links KachelX 24341 KachelY + 1 40507 -0.80792851 -0.68198119 -46.290894 -39.074644
    Unten rechts KachelX + 1 24342 KachelY + 1 40507 -0.80783263 -0.68198119 -46.285400 -39.074644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68190676--0.68198119) × R
    7.44300000000697e-05 × 6371000     		dl = 474.193530000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68190676--0.68198119) × R
    7.44300000000697e-05 × 6371000     		dr = 474.193530000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80792851--0.80783263) × cos(-0.68190676) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		do = 474.24819815336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80792851--0.80783263) × cos(-0.68198119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.776325435084418 × 6371000     		du = 474.21954098265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68190676)-sin(-0.68198119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776372348567726-0.776325435084418)×R²
    abs(-0.80783263--0.80792851)×4.69134833073204e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.69134833073204e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.69134833073204e-05×40589641000000     		ar = 224878.632760365m²