Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24340 / 40509
↖ ↑ ↗
← S 39.083172°
W 46.296387°		 ← 474.11 m → S 39.083172°
W 46.290894°		 →
↑
474.07 m
↓
↑
474.07 m
↓
S 39.087436°
W 46.296387°		 ← 474.08 m →
224 754 m²		 S 39.087436°
W 46.290894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371406555175781 y=0.618125915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371406555175781 × 216)
    floor (0.371406555175781 × 65536)
    floor (24340.5)     		tx = 24340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618125915527344 × 216)
    floor (0.618125915527344 × 65536)
    floor (40509.5)     		ty = 40509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24340 / 40509 ti = "16/24340/40509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24340/40509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24340 ÷ 216
    24340 ÷ 65536     		x = 0.37139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40509 ÷ 216
    40509 ÷ 65536     		y = 0.618118286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80802438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618118286132812 × 2 - 1) × π
    -0.236236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.742159079917709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80802438} λ = -0.80802438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.742159079917709))-π/2
    2×atan(0.476084899710999)-π/2
    2×0.444333144955654-π/2
    0.888666289911308-1.57079632675     		φ = -0.68213004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80802438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68213004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.083172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24340 KachelY 40509 -0.80802438 -0.68213004 -46.296387 -39.083172
    Oben rechts KachelX + 1 24341 KachelY 40509 -0.80792851 -0.68213004 -46.290894 -39.083172
    Unten links KachelX 24340 KachelY + 1 40510 -0.80802438 -0.68220445 -46.296387 -39.087436
    Unten rechts KachelX + 1 24341 KachelY + 1 40510 -0.80792851 -0.68220445 -46.290894 -39.087436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68213004--0.68220445) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dl = 474.066109999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68213004--0.68220445) × R
    7.44099999999692e-05 × 6371000     		dr = 474.066109999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80802438--0.80792851) × cos(-0.68213004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776231601520421 × 6371000     		do = 474.112768896176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80802438--0.80792851) × cos(-0.68220445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776184687746463 × 6371000     		du = 474.084114536798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68213004)-sin(-0.68220445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776231601520421-0.776184687746463)×R²
    abs(-0.80792851--0.80802438)×4.69137739582681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69137739582681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69137739582681e-05×40589641000000     		ar = 224754.004125254m²