Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2434 / 3947
↖ ↑ ↗
← N 67.784335°
W126.518554°		 ← 923.76 m → N 67.784335°
W126.496582°		 →
↑
923.92 m
↓
↑
923.92 m
↓
N 67.776026°
W126.518554°		 ← 924.09 m →
853 638 m²		 N 67.776026°
W126.496582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.148590087890625 y=0.240936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.148590087890625 × 214)
    floor (0.148590087890625 × 16384)
    floor (2434.5)     		tx = 2434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240936279296875 × 214)
    floor (0.240936279296875 × 16384)
    floor (3947.5)     		ty = 3947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2434 / 3947 ti = "14/2434/3947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2434/3947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2434 ÷ 214
    2434 ÷ 16384     		x = 0.1485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3947 ÷ 214
    3947 ÷ 16384     		y = 0.24090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.702880859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.20816534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24090576171875 × 2 - 1) × π
    0.5181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62793711109711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20816534} λ = -2.20816534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62793711109711))-π/2
    2×atan(5.09335684435098)-π/2
    2×1.37692807333743-π/2
    2.75385614667487-1.57079632675     		φ = 1.18305982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20816534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.518554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18305982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.784335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2434 KachelY 3947 -2.20816534 1.18305982 -126.518554 67.784335
    Oben rechts KachelX + 1 2435 KachelY 3947 -2.20778185 1.18305982 -126.496582 67.784335
    Unten links KachelX 2434 KachelY + 1 3948 -2.20816534 1.18291480 -126.518554 67.776026
    Unten rechts KachelX + 1 2435 KachelY + 1 3948 -2.20778185 1.18291480 -126.496582 67.776026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18305982-1.18291480) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dl = 923.922419999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18305982-1.18291480) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dr = 923.922419999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20816534--2.20778185) × cos(1.18305982) × R
    0.000383489999999931 × 0.378093917609967 × 6371000     		do = 923.764651513546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20816534--2.20778185) × cos(1.18291480) × R
    0.000383489999999931 × 0.378228168399366 × 6371000     		du = 924.092655027774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18305982)-sin(1.18291480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378093917609967-0.378228168399366)×R²
    abs(-2.20778185--2.20816534)×0.00013425078939866×R²
    0.000383489999999931×0.00013425078939866×6371000²
    0.000383489999999931×0.00013425078939866×40589641000000     		ar = 853638.39873334m²