Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24332 / 40500
↖ ↑ ↗
← S 39.044786°
W 46.340332°		 ← 474.37 m → S 39.044786°
W 46.334839°		 →
↑
474.38 m
↓
↑
474.38 m
↓
S 39.049052°
W 46.340332°		 ← 474.34 m →
225 027 m²		 S 39.049052°
W 46.334839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371284484863281 y=0.617988586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371284484863281 × 216)
    floor (0.371284484863281 × 65536)
    floor (24332.5)     		tx = 24332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617988586425781 × 216)
    floor (0.617988586425781 × 65536)
    floor (40500.5)     		ty = 40500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24332 / 40500 ti = "16/24332/40500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24332/40500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24332 ÷ 216
    24332 ÷ 65536     		x = 0.37127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40500 ÷ 216
    40500 ÷ 65536     		y = 0.61798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.2574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80879137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.741296215724548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80879137} λ = -0.80879137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741296215724548))-π/2
    2×atan(0.476495873605695)-π/2
    2×0.444668127264128-π/2
    0.889336254528256-1.57079632675     		φ = -0.68146007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80879137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68146007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.044786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24332 KachelY 40500 -0.80879137 -0.68146007 -46.340332 -39.044786
    Oben rechts KachelX + 1 24333 KachelY 40500 -0.80869550 -0.68146007 -46.334839 -39.044786
    Unten links KachelX 24332 KachelY + 1 40501 -0.80879137 -0.68153453 -46.340332 -39.049052
    Unten rechts KachelX + 1 24333 KachelY + 1 40501 -0.80869550 -0.68153453 -46.334839 -39.049052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68146007--0.68153453) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dl = 474.38465999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68146007--0.68153453) × R
    7.44599999999984e-05 × 6371000     		dr = 474.38465999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80879137--0.80869550) × cos(-0.68146007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776653808430218 × 6371000     		do = 474.37064771309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80879137--0.80869550) × cos(-0.68153453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776606901863404 × 6371000     		du = 474.341997755747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68146007)-sin(-0.68153453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776653808430218-0.776606901863404)×R²
    abs(-0.80869550--0.80879137)×4.69065668143864e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69065668143864e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69065668143864e-05×40589641000000     		ar = 225027.362983213m²