Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24332 / 25432
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 87.319336°		 ← 418.01 m → S 69.990535°
E 87.330322°		 →
↑
418 m
↓
↑
418 m
↓
S 69.994294°
E 87.319336°		 ← 417.94 m →
174 715 m²		 S 69.994294°
E 87.330322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742568969726562 y=0.776138305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742568969726562 × 215)
    floor (0.742568969726562 × 32768)
    floor (24332.5)     		tx = 24332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776138305664062 × 215)
    floor (0.776138305664062 × 32768)
    floor (25432.5)     		ty = 25432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24332 / 25432 ti = "15/24332/25432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24332/25432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24332 ÷ 215
    24332 ÷ 32768     		x = 0.7425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25432 ÷ 215
    25432 ÷ 32768     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7425537109375 × 2 - 1) × π
    0.485107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.52400991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52400991} λ = 1.52400991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52400991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24332 KachelY 25432 1.52400991 -1.22156528 87.319336 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 24333 KachelY 25432 1.52420166 -1.22156528 87.330322 -69.990535
    Unten links KachelX 24332 KachelY + 1 25433 1.52400991 -1.22163089 87.319336 -69.994294
    Unten rechts KachelX + 1 24333 KachelY + 1 25433 1.52420166 -1.22163089 87.330322 -69.994294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22163089) × R
    6.56099999998272e-05 × 6371000     		dl = 418.001309998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22163089) × R
    6.56099999998272e-05 × 6371000     		dr = 418.001309998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52400991-1.52420166) × cos(-1.22156528) × R
    0.000191749999999935 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 418.01486542001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52400991-1.52420166) × cos(-1.22163089) × R
    0.000191749999999935 × 0.342113722231011 × 6371000     		du = 417.939551040859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22163089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.342113722231011)×R²
    abs(1.52420166-1.52400991)×6.16502614430581e-05×R²
    0.000191749999999935×6.16502614430581e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.16502614430581e-05×40589641000000     		ar = 174715.020652683m²