Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2433 / 1795
↖ ↑ ↗
← N 21.698265°
E 33.837890°		 ← 9 080.51 m → N 21.698265°
E 33.925781°		 →
↑
9 083.07 m
↓
↑
9 083.07 m
↓
N 21.616579°
E 33.837890°		 ← 9 085.65 m →
82 502 280 m²		 N 21.616579°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5941162109375 y=0.4383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5941162109375 × 212)
    floor (0.5941162109375 × 4096)
    floor (2433.5)     		tx = 2433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4383544921875 × 212)
    floor (0.4383544921875 × 4096)
    floor (1795.5)     		ty = 1795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2433 / 1795 ti = "12/2433/1795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2433/1795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2433 ÷ 212
    2433 ÷ 4096     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1795 ÷ 212
    1795 ÷ 4096     		y = 0.438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    0.12353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.388097139323975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388097139323975))-π/2
    2×atan(1.47417297749964)-π/2
    2×0.974751250838275-π/2
    1.94950250167655-1.57079632675     		φ = 0.37870617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37870617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.698265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2433 KachelY 1795 0.59058260 0.37870617 33.837890 21.698265
    Oben rechts KachelX + 1 2434 KachelY 1795 0.59211658 0.37870617 33.925781 21.698265
    Unten links KachelX 2433 KachelY + 1 1796 0.59058260 0.37728048 33.837890 21.616579
    Unten rechts KachelX + 1 2434 KachelY + 1 1796 0.59211658 0.37728048 33.925781 21.616579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37870617-0.37728048) × R
    0.00142569000000003 × 6371000     		dl = 9083.07099000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37870617-0.37728048) × R
    0.00142569000000003 × 6371000     		dr = 9083.07099000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59211658) × cos(0.37870617) × R
    0.00153398000000005 × 0.929143766183191 × 6371000     		do = 9080.50955779925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59211658) × cos(0.37728048) × R
    0.00153398000000005 × 0.929669925866356 × 6371000     		du = 9085.65170932176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37870617)-sin(0.37728048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929143766183191-0.929669925866356)×R²
    abs(0.59211658-0.59058260)×0.000526159683165273×R²
    0.00153398000000005×0.000526159683165273×6371000²
    0.00153398000000005×0.000526159683165273×40589641000000     		ar = 82502280.1769833m²