Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2433 / 1781
↖ ↑ ↗
← N 22.836946°
E 33.837890°		 ← 9 006.91 m → N 22.836946°
E 33.925781°		 →
↑
9 009.61 m
↓
↑
9 009.61 m
↓
N 22.755921°
E 33.837890°		 ← 9 012.27 m →
81 172 933 m²		 N 22.755921°
E 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5941162109375 y=0.4349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5941162109375 × 212)
    floor (0.5941162109375 × 4096)
    floor (2433.5)     		tx = 2433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4349365234375 × 212)
    floor (0.4349365234375 × 4096)
    floor (1781.5)     		ty = 1781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2433 / 1781 ti = "12/2433/1781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2433/1781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2433 ÷ 212
    2433 ÷ 4096     		x = 0.593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1781 ÷ 212
    1781 ÷ 4096     		y = 0.434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59058260} λ = 0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40957287035376))-π/2
    2×atan(1.5061743159975)-π/2
    2×0.984688112102233-π/2
    1.96937622420447-1.57079632675     		φ = 0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2433 KachelY 1781 0.59058260 0.39857990 33.837890 22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 2434 KachelY 1781 0.59211658 0.39857990 33.925781 22.836946
    Unten links KachelX 2433 KachelY + 1 1782 0.59058260 0.39716574 33.837890 22.755921
    Unten rechts KachelX + 1 2434 KachelY + 1 1782 0.59211658 0.39716574 33.925781 22.755921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39857990-0.39716574) × R
    0.00141416 × 6371000     		dl = 9009.61335999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39857990-0.39716574) × R
    0.00141416 × 6371000     		dr = 9009.61335999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59058260-0.59211658) × cos(0.39857990) × R
    0.00153398000000005 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 9006.9122438389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59058260-0.59211658) × cos(0.39716574) × R
    0.00153398000000005 × 0.922161005903359 × 6371000     		du = 9012.2671352931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39857990)-sin(0.39716574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.922161005903359)×R²
    abs(0.59211658-0.59058260)×0.000547927842769913×R²
    0.00153398000000005×0.000547927842769913×6371000²
    0.00153398000000005×0.000547927842769913×40589641000000     		ar = 81172933.1630299m²