Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24327 / 40551
↖ ↑ ↗
← S 39.262031°
W 46.367798°		 ← 472.91 m → S 39.262031°
W 46.362305°		 →
↑
472.92 m
↓
↑
472.92 m
↓
S 39.266285°
W 46.367798°		 ← 472.88 m →
223 641 m²		 S 39.266285°
W 46.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371208190917969 y=0.618766784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371208190917969 × 216)
    floor (0.371208190917969 × 65536)
    floor (24327.5)     		tx = 24327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618766784667969 × 216)
    floor (0.618766784667969 × 65536)
    floor (40551.5)     		ty = 40551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24327 / 40551 ti = "16/24327/40551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24327/40551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24327 ÷ 216
    24327 ÷ 65536     		x = 0.371200561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40551 ÷ 216
    40551 ÷ 65536     		y = 0.618759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371200561523438 × 2 - 1) × π
    -0.257598876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80927074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618759155273438 × 2 - 1) × π
    -0.237518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.746185779485794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80927074} λ = -0.80927074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746185779485794))-π/2
    2×atan(0.474171703369498)-π/2
    2×0.442772303797033-π/2
    0.885544607594067-1.57079632675     		φ = -0.68525172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80927074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.367798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68525172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.262031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24327 KachelY 40551 -0.80927074 -0.68525172 -46.367798 -39.262031
    Oben rechts KachelX + 1 24328 KachelY 40551 -0.80917487 -0.68525172 -46.362305 -39.262031
    Unten links KachelX 24327 KachelY + 1 40552 -0.80927074 -0.68532595 -46.367798 -39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 24328 KachelY + 1 40552 -0.80917487 -0.68532595 -46.362305 -39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68525172--0.68532595) × R
    7.42299999999529e-05 × 6371000     		dl = 472.9193299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68525172--0.68532595) × R
    7.42299999999529e-05 × 6371000     		dr = 472.9193299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80927074--0.80917487) × cos(-0.68525172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774259766108421 × 6371000     		do = 472.908395942074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80927074--0.80917487) × cos(-0.68532595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 472.879701181874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68525172)-sin(-0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774259766108421-0.77421278618903)×R²
    abs(-0.80917487--0.80927074)×4.69799193911768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69799193911768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69799193911768e-05×40589641000000     		ar = 223640.736709441m²