Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24326 / 25414
↖ ↑ ↗
← S 69.922759°
E 87.253418°		 ← 419.35 m → S 69.922759°
E 87.264404°		 →
↑
419.34 m
↓
↑
419.34 m
↓
S 69.926530°
E 87.253418°		 ← 419.28 m →
175 834 m²		 S 69.926530°
E 87.264404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742385864257812 y=0.775588989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742385864257812 × 215)
    floor (0.742385864257812 × 32768)
    floor (24326.5)     		tx = 24326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775588989257812 × 215)
    floor (0.775588989257812 × 32768)
    floor (25414.5)     		ty = 25414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24326 / 25414 ti = "15/24326/25414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24326/25414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24326 ÷ 215
    24326 ÷ 32768     		x = 0.74237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25414 ÷ 215
    25414 ÷ 32768     		y = 0.77557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74237060546875 × 2 - 1) × π
    0.4847412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52285943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77557373046875 × 2 - 1) × π
    -0.5511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52285943} λ = 1.52285943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73148081427643))-π/2
    2×atan(0.177022078964292)-π/2
    2×0.175206983451611-π/2
    0.350413966903222-1.57079632675     		φ = -1.22038236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52285943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.253418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22038236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.922759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24326 KachelY 25414 1.52285943 -1.22038236 87.253418 -69.922759
    Oben rechts KachelX + 1 24327 KachelY 25414 1.52305117 -1.22038236 87.264404 -69.922759
    Unten links KachelX 24326 KachelY + 1 25415 1.52285943 -1.22044818 87.253418 -69.926530
    Unten rechts KachelX + 1 24327 KachelY + 1 25415 1.52305117 -1.22044818 87.264404 -69.926530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22038236--1.22044818) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dl = 419.339219999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22038236--1.22044818) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dr = 419.339219999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52285943-1.52305117) × cos(-1.22038236) × R
    0.000191739999999996 × 0.343286647174553 × 6371000     		do = 419.350571397035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52285943-1.52305117) × cos(-1.22044818) × R
    0.000191739999999996 × 0.343224826267368 × 6371000     		du = 419.275052488957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22038236)-sin(-1.22044818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343286647174553-0.343224826267368)×R²
    abs(1.52305117-1.52285943)×6.18209071854281e-05×R²
    0.000191739999999996×6.18209071854281e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.18209071854281e-05×40589641000000     		ar = 175834.307559507m²