Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24325 / 40870
↖ ↑ ↗
← S 40.605612°
W 46.378784°		 ← 463.76 m → S 40.605612°
W 46.373291°		 →
↑
463.68 m
↓
↑
463.68 m
↓
S 40.609782°
W 46.378784°		 ← 463.73 m →
215 032 m²		 S 40.609782°
W 46.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371177673339844 y=0.623634338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371177673339844 × 216)
    floor (0.371177673339844 × 65536)
    floor (24325.5)     		tx = 24325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623634338378906 × 216)
    floor (0.623634338378906 × 65536)
    floor (40870.5)     		ty = 40870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24325 / 40870 ti = "16/24325/40870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24325/40870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24325 ÷ 216
    24325 ÷ 65536     		x = 0.371170043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40870 ÷ 216
    40870 ÷ 65536     		y = 0.623626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371170043945312 × 2 - 1) × π
    -0.257659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80946249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.24725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.77676952144339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80946249} λ = -0.80946249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77676952144339))-π/2
    2×atan(0.459889276633439)-π/2
    2×0.4310473508038-π/2
    0.862094701607601-1.57079632675     		φ = -0.70870163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80946249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.378784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70870163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.605612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24325 KachelY 40870 -0.80946249 -0.70870163 -46.378784 -40.605612
    Oben rechts KachelX + 1 24326 KachelY 40870 -0.80936661 -0.70870163 -46.373291 -40.605612
    Unten links KachelX 24325 KachelY + 1 40871 -0.80946249 -0.70877441 -46.378784 -40.609782
    Unten rechts KachelX + 1 24326 KachelY + 1 40871 -0.80936661 -0.70877441 -46.373291 -40.609782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70870163--0.70877441) × R
    7.27799999999945e-05 × 6371000     		dl = 463.681379999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70870163--0.70877441) × R
    7.27799999999945e-05 × 6371000     		dr = 463.681379999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80946249--0.80936661) × cos(-0.70870163) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.759207557956272 × 6371000     		do = 463.763060405008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80946249--0.80936661) × cos(-0.70877441) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.759160187185377 × 6371000     		du = 463.734123899497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70870163)-sin(-0.70877441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759207557956272-0.759160187185377)×R²
    abs(-0.80936661--0.80946249)×4.73707708955606e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73707708955606e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73707708955606e-05×40589641000000     		ar = 215031.58727709m²