Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24324 / 42756
↖ ↑ ↗
← S 48.004625°
W 46.384277°		 ← 408.66 m → S 48.004625°
W 46.378784°		 →
↑
408.70 m
↓
↑
408.70 m
↓
S 48.008300°
W 46.384277°		 ← 408.63 m →
167 013 m²		 S 48.008300°
W 46.378784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371162414550781 y=0.652412414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371162414550781 × 216)
    floor (0.371162414550781 × 65536)
    floor (24324.5)     		tx = 24324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652412414550781 × 216)
    floor (0.652412414550781 × 65536)
    floor (42756.5)     		ty = 42756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24324 / 42756 ti = "16/24324/42756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24324/42756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24324 ÷ 216
    24324 ÷ 65536     		x = 0.37115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42756 ÷ 216
    42756 ÷ 65536     		y = 0.65240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.957587506810242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80955836} λ = -0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957587506810242))-π/2
    2×atan(0.383817727593429)-π/2
    2×0.366478782004585-π/2
    0.73295756400917-1.57079632675     		φ = -0.83783876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83783876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.004625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24324 KachelY 42756 -0.80955836 -0.83783876 -46.384277 -48.004625
    Oben rechts KachelX + 1 24325 KachelY 42756 -0.80946249 -0.83783876 -46.378784 -48.004625
    Unten links KachelX 24324 KachelY + 1 42757 -0.80955836 -0.83790291 -46.384277 -48.008300
    Unten rechts KachelX + 1 24325 KachelY + 1 42757 -0.80946249 -0.83790291 -46.378784 -48.008300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83783876--0.83790291) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dl = 408.699649999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83783876--0.83790291) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dr = 408.699649999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80955836--0.80946249) × cos(-0.83783876) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669070618240126 × 6371000     		do = 408.660150887399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80955836--0.80946249) × cos(-0.83790291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669022940658229 × 6371000     		du = 408.631030003473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83783876)-sin(-0.83790291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669070618240126-0.669022940658229)×R²
    abs(-0.80946249--0.80955836)×4.76775818966102e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76775818966102e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76775818966102e-05×40589641000000     		ar = 167013.309846361m²