Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24318 / 42753
↖ ↑ ↗
← S 47.993598°
W 46.417236°		 ← 408.75 m → S 47.993598°
W 46.411743°		 →
↑
408.76 m
↓
↑
408.76 m
↓
S 47.997274°
W 46.417236°		 ← 408.72 m →
167 075 m²		 S 47.997274°
W 46.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371070861816406 y=0.652366638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371070861816406 × 216)
    floor (0.371070861816406 × 65536)
    floor (24318.5)     		tx = 24318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652366638183594 × 216)
    floor (0.652366638183594 × 65536)
    floor (42753.5)     		ty = 42753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24318 / 42753 ti = "16/24318/42753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24318/42753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24318 ÷ 216
    24318 ÷ 65536     		x = 0.371063232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42753 ÷ 216
    42753 ÷ 65536     		y = 0.652359008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371063232421875 × 2 - 1) × π
    -0.25787353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81013360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652359008789062 × 2 - 1) × π
    -0.304718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.957299885412521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81013360} λ = -0.81013360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957299885412521))-π/2
    2×atan(0.383928137662097)-π/2
    2×0.366575011801558-π/2
    0.733150023603116-1.57079632675     		φ = -0.83764630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81013360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83764630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.993598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24318 KachelY 42753 -0.81013360 -0.83764630 -46.417236 -47.993598
    Oben rechts KachelX + 1 24319 KachelY 42753 -0.81003773 -0.83764630 -46.411743 -47.993598
    Unten links KachelX 24318 KachelY + 1 42754 -0.81013360 -0.83771046 -46.417236 -47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 24319 KachelY + 1 42754 -0.81003773 -0.83771046 -46.411743 -47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83764630--0.83771046) × R
    6.41600000000908e-05 × 6371000     		dl = 408.763360000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83764630--0.83771046) × R
    6.41600000000908e-05 × 6371000     		dr = 408.763360000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81013360--0.81003773) × cos(-0.83764630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669213641895484 × 6371000     		do = 408.747507986912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81013360--0.81003773) × cos(-0.83771046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 408.718387609948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83764630)-sin(-0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669213641895484-0.669165965143599)×R²
    abs(-0.81003773--0.81013360)×4.76767518852173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76767518852173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76767518852173e-05×40589641000000     		ar = 167075.053142431m²