Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24315 / 40867
↖ ↑ ↗
← S 40.593100°
W 46.433716°		 ← 463.80 m → S 40.593100°
W 46.428223°		 →
↑
463.81 m
↓
↑
463.81 m
↓
S 40.597271°
W 46.433716°		 ← 463.77 m →
215 109 m²		 S 40.597271°
W 46.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371025085449219 y=0.623588562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371025085449219 × 216)
    floor (0.371025085449219 × 65536)
    floor (24315.5)     		tx = 24315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623588562011719 × 216)
    floor (0.623588562011719 × 65536)
    floor (40867.5)     		ty = 40867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24315 / 40867 ti = "16/24315/40867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24315/40867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24315 ÷ 216
    24315 ÷ 65536     		x = 0.371017456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40867 ÷ 216
    40867 ÷ 65536     		y = 0.623580932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.257965087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81042122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623580932617188 × 2 - 1) × π
    -0.247161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.77648190004567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81042122} λ = -0.81042122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.77648190004567))-π/2
    2×atan(0.460021569654221)-π/2
    2×0.431156543192851-π/2
    0.862313086385702-1.57079632675     		φ = -0.70848324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81042122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.433716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70848324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.593100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24315 KachelY 40867 -0.81042122 -0.70848324 -46.433716 -40.593100
    Oben rechts KachelX + 1 24316 KachelY 40867 -0.81032535 -0.70848324 -46.428223 -40.593100
    Unten links KachelX 24315 KachelY + 1 40868 -0.81042122 -0.70855604 -46.433716 -40.597271
    Unten rechts KachelX + 1 24316 KachelY + 1 40868 -0.81032535 -0.70855604 -46.428223 -40.597271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70848324--0.70855604) × R
    7.2800000000095e-05 × 6371000     		dl = 463.808800000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70848324--0.70855604) × R
    7.2800000000095e-05 × 6371000     		dr = 463.808800000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81042122--0.81032535) × cos(-0.70848324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.759349678673286 × 6371000     		do = 463.801496887063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81042122--0.81032535) × cos(-0.70855604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75930230695555 × 6371000     		du = 463.772562821226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70848324)-sin(-0.70855604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759349678673286-0.75930230695555)×R²
    abs(-0.81032535--0.81042122)×4.73717177363886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73717177363886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73717177363886e-05×40589641000000     		ar = 215108.505867572m²