Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24314 / 25463
↖ ↑ ↗
← S 70.106747°
E 87.121582°		 ← 415.66 m → S 70.106747°
E 87.132568°		 →
↑
415.64 m
↓
↑
415.64 m
↓
S 70.110485°
E 87.121582°		 ← 415.59 m →
172 753 m²		 S 70.110485°
E 87.132568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742019653320312 y=0.777084350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742019653320312 × 215)
    floor (0.742019653320312 × 32768)
    floor (24314.5)     		tx = 24314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777084350585938 × 215)
    floor (0.777084350585938 × 32768)
    floor (25463.5)     		ty = 25463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24314 / 25463 ti = "15/24314/25463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24314/25463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24314 ÷ 215
    24314 ÷ 32768     		x = 0.74200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25463 ÷ 215
    25463 ÷ 32768     		y = 0.777069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74200439453125 × 2 - 1) × π
    0.4840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.52055846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.55413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74087644660196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52055846} λ = 1.52055846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74087644660196))-π/2
    2×atan(0.175366633752368)-π/2
    2×0.173601383530617-π/2
    0.347202767061234-1.57079632675     		φ = -1.22359356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52055846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.121582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22359356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.106747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24314 KachelY 25463 1.52055846 -1.22359356 87.121582 -70.106747
    Oben rechts KachelX + 1 24315 KachelY 25463 1.52075020 -1.22359356 87.132568 -70.106747
    Unten links KachelX 24314 KachelY + 1 25464 1.52055846 -1.22365880 87.121582 -70.110485
    Unten rechts KachelX + 1 24315 KachelY + 1 25464 1.52075020 -1.22365880 87.132568 -70.110485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22359356--1.22365880) × R
    6.52399999998554e-05 × 6371000     		dl = 415.644039999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22359356--1.22365880) × R
    6.52399999998554e-05 × 6371000     		dr = 415.644039999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52055846-1.52075020) × cos(-1.22359356) × R
    0.000191739999999996 × 0.340268824834374 × 6371000     		do = 415.664073442206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52055846-1.52075020) × cos(-1.22365880) × R
    0.000191739999999996 × 0.340207477098405 × 6371000     		du = 415.589132548513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22359356)-sin(-1.22365880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340268824834374-0.340207477098405)×R²
    abs(1.52075020-1.52055846)×6.13477359688308e-05×R²
    0.000191739999999996×6.13477359688308e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.13477359688308e-05×40589641000000     		ar = 172752.720461827m²